O enunciado pede para escrever a função comprimento de arco da curva parametrizada por . O conteúdo da matéria é comprimento de arco de curva no plano, e para resolver precisamos usar a fórmula
e calcular a integral do módulo da velocidade.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada da curva e o módulo dessa derivada. Temos
vec r,'(t)=l(1,2tr)
e portanto
llVertvec r,'(t)rrVert=raiz1+(2t)^2=raiz1+4t^2
Passo 3
Em seguida, para obter o comprimento de arco assumimos que o parâmetro inicial é t0=0 (ou seja, s(0)=0) e montamos a integral
s(t)=integral0^traiz1+4u^2,du
Passo 4
Agora, precisamos calcular
integralraiz1+4u^2,du
Usando a fórmula padrão para integralraiza^2+u^2,du com a=1 e ajustando o fator 4, ou fazendo substituição trigonométrica, obtemos como antiderivada
F(u)=u2raiz1+4u^2+14lnl(2u+raiz1+4u^2r)+C
Passo 5
Por fim, avaliamos de 0 a t. Como F(0)=0+tfrac14ln(1)=0, concluímos
s(t)=F(t)-F(0)=t2raiz1+4t^2+14lnl(2t+raiz1+4t^2r)
Resposta
s(t)=dfract2raiz1+4t^2+dfrac14lnl(2t+raiz1+4t^2r), com s(0)=0.