Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15
, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
a) Resolva o problema de valor inicial para
.
b) Utilizando a informação de que
, determine o valor da constante
.
c) Determine o instante de tempo
para que a massa se reduza a
do valor inicial.
a) Resolva o problema de valor inicial para
b) Utilizando a informação de que
c) Determine o instante de tempo
Passo 1
O problema pede para modelar o decaimento de massa de um material por uma equação diferencial do tipo decaimento exponencial, com condição inicial e informações adicionais para determinar a constante de decaimento e o tempo para atingir certa fração inicial.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial separável
Integrando ambos os lados, obtemos
Elevando exponencialmente, vem
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando a condição inicial
, temos
Logo a solução geral fica
Passo 4
Usando a informação
, escrevemos
Assim
Tomando ln de ambos os lados,
Passo 5
Para achar o tempo
em que
, montamos
Logo
Daí
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©