Seja Q(t) a massa em gramas de um determinado material em cada instante t (em minutos). Sabe-se que a função Q(t) satisfaz a seguinte equação diferencial
d Qd t=-k Q
onde k é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu 5 % do seu valor inicial.
a) Resolva o problema de valor inicial para Q(t).
b) Utilizando a informação de que Q(15)=0,95 cdot 40, determine o valor da constante k.
c) Determine o instante de tempo T para que a massa se reduza a 20 % do valor inicial.

Passo 1

O problema pede para modelar o decaimento de massa de um material por uma equação diferencial do tipo decaimento exponencial, com condição inicial e informações adicionais para determinar a constante de decaimento e o tempo para atingir certa fração inicial.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial separável
dQQ=-k,dt
Integrando ambos os lados, obtemos
ln|Q|=-kt+C1
Elevando exponencialmente, vem
Q(t)=C,e^-kt
onde C=e^C1 é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando a condição inicial Q(0)=40, temos
Q(0)=C,e^-kcdot0=C=40
Logo a solução geral fica
Q(t)=40,e^-kt

Passo 4

Usando a informação Q(15)=0,95times40=38, escrevemos
40,e^-15k=38
Assim
e^-15k=0,95
Tomando ln de ambos os lados,
-15k=ln(0,95)Longrightarrow k=-115ln(0,95)approx0,00342,min^-1

Passo 5

Para achar o tempo T em que Q(T)=0,2times40=8, montamos
40,e^-kT=8
Logo
e^-kT=0,2
Daí
-kT=ln(0,2)Longrightarrow T=-1kln(0,2)approx470,6,minutos

Resposta

(a) Q(t)=40e^-kt
(b) k=-tfrac115ln(0,95)approx0,00342,min^-1
© T=-tfrac1kln(0,2)approx470,6,min

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