Escrever a matriz C=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) como combinação linear das matrizes:
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \text { e } B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá três matrizes (vou escrever cada elemento explicitamente, pegando-os do enunciado):
A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right),\qquad B=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{array}\right),\qquad C=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{array}\right).
O que pede o problema: escrever a matriz C como combinação linear das matrizes A e B. Ou seja, encontrar escalares (números) \alpha e \beta tais que a relação abaixo seja verdadeira:
\alpha A+\beta B=C.]

Passo 2

O que significa escrever C como combinação linear de A e B? Significa que cada entrada de C deve ser obtida somando \alpha vezes a entrada correspondente de A e \beta vezes a entrada correspondente de B. Em forma de matriz:
\alpha\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right) +\beta\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{array}\right).
Agora a estratégia prática (que é a usual na prova): escrever a igualdade entrada a entrada e montar um sistema de equações para \alpha e \beta.]

Passo 3

Igualando entrada a entrada obtemos quatro equações escalares (uma para cada posição da matriz). Vou escrever cada uma delas:
da posição (1,1):
\alpha\cdot 1+\beta\cdot 0=2
da posição (1,2):
\alpha\cdot 1+\beta\cdot 1=1
da posição (2,1):
\alpha\cdot 1+\beta\cdot 1=1
da posição (2,2):
\alpha\cdot 0+\beta\cdot 1=-1
Observação: as duas equações do meio são idênticas, então temos efetivamente duas equações independentes para as duas incógnitas \alpha e \beta.

Passo 4

Resolver uma das equações mais simples primeiro. Da posição (1,1) temos:
\alpha=2.
Isso já é ótimo porque elimina uma incógnita.

Passo 5

Usar \alpha=2 na equação da posição (1,2):
\alpha+\beta=1 \quad\Rightarrow\quad 2+\beta=1 \quad\Rightarrow\quad \beta=1-2=-1.

Passo 6

Verificar que esses valores satisfazem as outras entradas (checagem de consistência — sempre faça isso na prova para evitar erros de cálculo):
  • Para (2,1): \alpha+\beta=2+(-1)=1, que coincide com a entrada desejada 1.
  • Para (2,2): \beta=-1, que coincide com a entrada desejada -1.
    Portanto os valores encontrados são consistentes com todas as entradas da matriz C.

Passo 7

Interpretação final e observação prática: encontramos \alpha=2 e \beta=-1, isto é,
C=2A-1\cdot B.
Dica rápida para a prova: escolha primeiro as entradas que zeram coeficientes de uma incógnita (aqui a entrada (1,1) tem coeficiente de \beta igual a zero), isso simplifica muito a conta.

Resposta

C=2A-B

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