(RA2) Verifique se o vetor \vec{v}=(1,1,2) é uma combinação linear dos vetores
\overrightarrow{v_{1}}=(1,1,0) \quad e \quad \overrightarrow{v_{2}}=(0,1,1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores (peguei esses vetores do enunciado):
  • \vec{v}=(1,1,2).
  • \overrightarrow{v_{1}}=(1,1,0).
  • \overrightarrow{v_{2}}=(0,1,1).
O que se pede: verificar se existe uma combinação linear de \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} que produza \vec{v}. Ou seja, existe a e b tais que
a\,\overrightarrow{v_{1}}+b\,\overrightarrow{v_{2}}=\vec{v} ?

Passo 2

O que significa ser combinação linear, explicado devagarinho: dizer que \vec{v} é combinação linear de \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} quer dizer que existem escalares (números) a e b tais que se multiplicarmos \overrightarrow{v_{1}} por a, \overrightarrow{v_{2}} por b e somarmos os dois resultados, obtemos exatamente \vec{v}. Matematicamente:
a\,(1,1,0)+b\,(0,1,1)=(1,1,2).
Cada coordenada do lado esquerdo deve igualar a coordenada correspondente do lado direito — isso gera um sistema de equações lineares nas incógnitas a e b.

Passo 3

Escrevendo componente a componente a equação acima (cada número em TeX):
Primeira componente:
a\cdot 1 + b\cdot 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad a = 1.
Segunda componente:
a\cdot 1 + b\cdot 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad a + b = 1.
Terceira componente:
a\cdot 0 + b\cdot 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 2.

Passo 4

Agora resolvemos passo a passo as equações obtidas:
  • Da primeira equação obtemos \,a=1.
  • Da terceira equação obtemos \,b=2.
Esses são valores candidatos para a e b. O próximo passo é verificar se eles satisfazem também a segunda equação.

Passo 5

Substituindo \,a=1 e \,b=2 na segunda equação a+b=1:
1 + 2 = 3.
Mas a segunda equação pede que o somatório seja 1. Como 3 \neq 1, há contradição: os valores vindos da primeira e da terceira coordenada não satisfazem a segunda coordenada ao mesmo tempo.

Passo 6

Interpretação e conclusão didática: o sistema de três equações em duas incógnitas é inconsistente — não existe par (a,b) que resolva todas as três equações simultaneamente. Portanto não existem escalares a e b tais que a\,\overrightarrow{v_{1}}+b\,\overrightarrow{v_{2}}=\vec{v}.
Intuição geométrica rápida (sem cálculo): dois vetores em \mathbb{R}^3 geram no máximo um plano passando pela origem; se \vec{v} não pertencer a esse plano, não será combinação linear deles. Aqui a verificação componente a componente mostrou exatamente que \vec{v} não está naquele plano.

Resposta

Não. \vec{v} não é combinação linear de \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.

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