Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
f(x)=x^3x+2 em x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a série de Taylor da função em torno de . Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que é uma maneira de representar funções como uma soma infinita de termos polinomiais. Precisaremos conhecer a série geométrica e saber como manipulá-la para encontrar a série de Taylor da nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Observe que podemos fatorar o denominador:
f(x) = x^3x + 2 = x^32 + x = x^32(1 + x2) = x^32 cdot 11 + x2

Passo 3

Agora, temos 11 + x2 = 11 - (-x2) , que se assemelha à forma da série geométrica . Para usar a série geométrica, precisamos que a expressão seja do tipo . Então, vamos reescrever:
Aqui, .

Passo 4

Utilizando a série geométrica, podemos expandir 11 - (-x2) = sumn=0^infty (-x2)^n = sumn=0^infty (-1)^n (x2)^n :

Passo 5

Agora, voltando à nossa função f(x) = x^32 cdot sumn=0^infty (-1)^n (x2)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^32 (x2)^n :
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^n + 32^n + 1
Simplificando os termos:

Passo 6

Podemos ajustar o índice para deixar a expressão mais elegante. Deixando f(x) = sumn=3^infty (-1)^n-3 x^n2^n - 2 começar em 3, teremos:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^n + 32^n + 1
Mas para simplificar, podemos manter o índice começando em 0:

Passo 7

Agora, determinamos o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando | -x2 | < 1 implies |x|2 < 1 implies |x| < 2 . No nosso caso, , então:
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^n + 32^n + 1 em é:
E o intervalo de convergência é .

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