Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência: em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a série de Taylor da função em torno de . Para isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que é uma maneira de representar funções como uma soma infinita de termos polinomiais. Precisaremos conhecer a série geométrica e saber como manipulá-la para encontrar a série de Taylor da nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Observe que podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, temos , que se assemelha à forma da série geométrica . Para usar a série geométrica, precisamos que a expressão seja do tipo . Então, vamos reescrever:
Aqui, .
Passo 4
Utilizando a série geométrica, podemos expandir :
Passo 5
Agora, voltando à nossa função :
Simplificando os termos:
Passo 6
Podemos ajustar o índice para deixar a expressão mais elegante. Deixando começar em 3, teremos:
Mas para simplificar, podemos manter o índice começando em 0:
Passo 7
Agora, determinamos o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, o intervalo de convergência é .
Resposta
A série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^n + 32^n + 1 em é: