Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
f(x)=xx^4+9 em x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a série de Taylor da função ao redor de e também encontrar o intervalo onde essa série converge. Vamos usar o conteúdo de séries de Taylor e séries geométricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. A gente tem:
f(x) = xx^4 + 9
Podemos fatorar o denominador:
f(x) = x9 + x^4 = x9 (1 + x^49) = x9 cdot 11 + x^49

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da série geométrica. A série geométrica é:
11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1
No nosso caso, temos 11 + x^49 = 11 - (-x^49) = sumn=0^infty (-x^49)^n , então:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de f(x) = x9 sumn=0^infty (-x^49)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^4n + 19^n + 1 :

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos dessa série para visualizar melhor:
f(x) = x9 - x^581 + x^9729 - x^136561 + dots

Passo 6

Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência da série. Para que a série geométrica converja, precisamos que:
| -x^49 | < 1 implies x^49 < 1 implies |x|^4 < 9 implies |x| < raiz[4]9 = raiz3

Resposta

A série de Taylor de f(x) = x9 - x^581 + x^9729 - x^136561 + dots = sumn=0^infty (-1)^n x^4n + 19^n + 1 em torno de |x| < raiz3 é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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