Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência: em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a série de Taylor da função ao redor de e também encontrar o intervalo onde essa série converge. Vamos usar o conteúdo de séries de Taylor e séries geométricas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão em série. A gente tem:
Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da série geométrica. A série geométrica é:
No nosso caso, temos , então:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de :
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos dessa série para visualizar melhor:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência da série. Para que a série geométrica converja, precisamos que:
Resposta
A série de Taylor de f(x) = x9 - x^581 + x^9729 - x^136561 + dots = sumn=0^infty (-1)^n x^4n + 19^n + 1 em torno de |x| < raiz3 é: