Escrever a séries de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
f(x)=x^2x^3+5 em x0=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para escrever a série de Taylor da função em torno de e determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor, que nos permite expandir funções em séries de potências em torno de um ponto específico. Precisaremos manipular a função para obter uma forma que facilite a expansão em série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma a facilitar a aplicação da série geométrica. Observamos que:
f(x) = x^2x^3 + 5 = x^25 (1 + x^35) = x^25 cdot 11 + x^35

Passo 3

Lembramos que a série geométrica é dada por:
11 - r = sumn=0^infty r^n
Para que essa série convirja, é necessário que 11 + x^35 = 11 - (-x^35) = sumn=0^infty (-x^35)^n . No nosso caso, queremos expressar | -x^35 | < 1 Rightarrow |x^3| < 5 Rightarrow |x| < raiz[3]5 de forma semelhante à série geométrica. Podemos reescrever:
Essa série converge quando:

Passo 4

Agora, substituímos a série geométrica na expressão original de f(x) = x^25 cdot sumn=0^infty (-x^35)^n = sumn=0^infty x^25 (-x^35)^n :
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2 + 3n5^n + 1 = sumn=0^infty (-1)^n5^n + 1 x^3n + 2
Simplificando, temos:

Passo 5

Finalmente, resumindo os passos, a série de Taylor da função f(x) = sumn=0^infty (-1)^n5^n + 1 x^3n + 2 em torno de |x| < raiz[3]5 é:
E o intervalo de convergência é:

Resposta

A série de Taylor de f(x) = sumn=0^infty (-1)^n5^n + 1 x^3n + 2 em torno de é:
e o intervalo de convergência é .

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