Escrever a séries de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência: em
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para escrever a série de Taylor da função em torno de e determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor, que nos permite expandir funções em séries de potências em torno de um ponto específico. Precisaremos manipular a função para obter uma forma que facilite a expansão em série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de forma a facilitar a aplicação da série geométrica. Observamos que:
Passo 3
Lembramos que a série geométrica é dada por:
Para que essa série convirja, é necessário que . No nosso caso, queremos expressar de forma semelhante à série geométrica. Podemos reescrever:
Essa série converge quando:
Passo 4
Agora, substituímos a série geométrica na expressão original de f(x) = x^25 cdot sumn=0^infty (-x^35)^n = sumn=0^infty x^25 (-x^35)^n :