Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
c.
c.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o PVI
admite solução única segundo o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf. Vamos precisar saber que esse teorema exige, além de continuidade de
, que
seja Lipschitz em
numa vizinhança do ponto inicial.
Passo 2
Definimos
Claramente
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial em relação a
:
$$\frac{\partial f}{\partial y}= -\frac{1}{3}(y-1)^{-2/3}.
$$
Note que em esse termo diverge, ou seja, não é contínuo em torno de
. Como condição de Lipschitz em
exige continuidade de
, aqui essa condição falha.
Note que em
Passo 4
Como não temos Lipschitz em
na vizinhança de
, o teorema de unicidade não se aplica. Logo não podemos garantir que haja solução única para o PVI dado.
Resposta
O PVI não satisfaz a condição de Lipschitz em
perto de
, de modo que não há garantia de unicidade da solução.