Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
c. ld yd x=3 x-raiz[3]y-1 y(2)=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o PVI
dfracdydx=3x-raiz[3]y-1, y(2)=1
admite solução única segundo o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf. Vamos precisar saber que esse teorema exige, além de continuidade de f(x,y), que f seja Lipschitz em y numa vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=3x-raiz[3]y-1
Claramente f(x,y) é contínua em (x,y) próximo de (2,1), pois a raiz cúbica está bem definida.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em relação a y:
$$\frac{\partial f}{\partial y}= -\frac{1}{3}(y-1)^{-2/3}.
$$
Note que em partial fpartial y= -13(y-1)^-2/3 esse termo diverge, ou seja, não é contínuo em torno de y=1. Como condição de Lipschitz em y=1 exige continuidade de y, aqui essa condição falha.

Passo 4

Como não temos Lipschitz em y na vizinhança de (2,1), o teorema de unicidade não se aplica. Logo não podemos garantir que haja solução única para o PVI dado.

Resposta

O PVI não satisfaz a condição de Lipschitz em y perto de y=1, de modo que não há garantia de unicidade da solução.

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