1. Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0
onde u=u(x, y).
2. u=x y

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a função u(x,y)=xy satisfaz a equação de Laplace modificada
partial^2upartial x^2 - partial^2upartial y^2 = 0
Aqui o conteúdo da matéria é equações diferenciais parciais e derivadas parciais de segunda ordem; vamos calcular essas derivadas e substituir na PDE.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas em relação a x. Como u(x,y)=xy, tratamos y como constante ao derivar em x:
partial upartial x = y,
e ao derivar novamente em x:
partial^2upartial x^2 = 0
Isso acontece porque a derivada de uma constante (aqui y) em relação a x é zero.

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas em relação a y. Tratando x como constante:
partial upartial y = x,
e derivando de novo em y:
partial^2upartial y^2 = 0
Novamente obtemos zero porque x é constante ao derivar em y.

Passo 4

Finalmente, substituímos as segundas derivadas na PDE:
partial^2upartial x^2 - partial^2upartial y^2 = 0 - 0 = 0
Como o resultado é zero, a igualdade é satisfeita e a função é solução da equação.

Resposta

A função u(x,y)=xy satisfaz a equação partial^2u/partial x^2-partial^2u/partial y^2=0, logo é solução.

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