- Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
onde
.
2.
2.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace modificada
Aqui o conteúdo da matéria é equações diferenciais parciais e derivadas parciais de segunda ordem; vamos calcular essas derivadas e substituir na PDE.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas em relação a
. Como
, tratamos
como constante ao derivar em
:
e ao derivar novamente em
:
Isso acontece porque a derivada de uma constante (aqui
) em relação a
é zero.
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas em relação a
. Tratando
como constante:
e derivando de novo em
:
Novamente obtemos zero porque
é constante ao derivar em
.
Passo 4
Finalmente, substituímos as segundas derivadas na PDE:
Como o resultado é zero, a igualdade é satisfeita e a função é solução da equação.
Resposta
A função
satisfaz a equação
, logo é solução.