Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
14.5+15.6+16.7+cdots+

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série 14cdot5+15cdot6+16cdot7+cdots. O conteúdo envolvido são séries numéricas e, para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e o método de soma telescópica.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série. Se chamarmos n o índice que começa em 4, o n-ésimo termo é
an = 1n(n+1), n=4,5,6,dots

Passo 3

Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais para tornar evidente o efeito telescópico. Temos:
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 4

Agora somamos os primeiros N-3 termos (ou seja, de n=4 até n=N) e observamos o cancelamento telescópico:
SN = sumn=4^Nl(1n - 1n+1r) = l(14-15r)+l(15-16r)+cdots+l(1N-1N+1r)
Note que a maioria dos termos internos se cancelam, sobrando:
SN = 14 - 1N+1

Passo 5

Por fim, para verificar a convergência, calculamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN = limNtoinftyl(14-1N+1r) = 14
Como esse limite é finito, a série converge e soma 1/4.

Resposta

A série é telescópica, converge e seu valor é tfrac14.

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