Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
. O conteúdo envolvido são séries numéricas e, para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e o método de soma telescópica.
Passo 2
Primeiro, identificamos o termo geral da série. Se chamarmos
o índice que começa em 4, o
-ésimo termo é
Passo 3
Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais para tornar evidente o efeito telescópico. Temos:
Passo 4
Agora somamos os primeiros
termos (ou seja, de
até
) e observamos o cancelamento telescópico:
Note que a maioria dos termos internos se cancelam, sobrando:
Passo 5
Por fim, para verificar a convergência, calculamos o limite de
quando
:
Como esse limite é finito, a série converge e soma
.
Resposta
A série é telescópica, converge e seu valor é
.