Escrever a séries de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a série de Taylor para a função
centrada em
. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor e entender como aplicá-las a funções exponenciais. Vamos precisar lembrar como é a série de Taylor geral e como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções suaves usando polinômios infinitos. A série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em 0.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
E assim por diante. Podemos observar um padrão: cada derivada traz um fator de
.
Assim, a n-ésima derivada é:
Avaliada em
:
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
Podemos reescrever isso como:
Então, a série de Taylor de
em torno de 0 é essa soma infinita de termos.
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para
converge para todo
. No nosso caso,
, então a série converge para todo
.
Resposta
A série de Taylor para
em
é:
E o intervalo de convergência é
.