Escrever a séries de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
f(x)=e^-2 x em x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a série de Taylor para a função centrada em . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor e entender como aplicá-las a funções exponenciais. Vamos precisar lembrar como é a série de Taylor geral e como calcular os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções suaves usando polinômios infinitos. A série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(x0)n! (x - x0)^n em torno de é dada por:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, f'(x) = ddx e^-2x = -2 e^-2x e f''(x) = ddx (-2 e^-2x) = 4 e^-2x . Vamos calcular as derivadas de f^(n)(x) = (-2)^n e^-2x e avaliá-las em 0.
A primeira derivada:
f^(n)(0) = (-2)^n e^0 = (-2)^n
A segunda derivada:
E assim por diante. Podemos observar um padrão: cada derivada traz um fator de .
Assim, a n-ésima derivada é:
Avaliada em :

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=0^infty (-2)^nn! x^n
Podemos reescrever isso como:
f(x) = sumn=0^infty (-2x)^nn!
Então, a série de Taylor de em torno de 0 é essa soma infinita de termos.

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Taylor para converge para todo . No nosso caso, , então a série converge para todo .

Resposta

A série de Taylor para f(x) = sumn=0^infty (-2x)^nn! em é:
E o intervalo de convergência é .

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