Determine o intervalo e raio de convergência da seguinte série de potências
sum n(x+2)^n3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências sum n(x+2)^n3^n+1. Isso entra na matéria de séries de potências e convergência. Pra resolver, a gente vai usar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série é sum n(x+2)^n3^n+1. Podemos simplificar isso dividindo 3^n+1 por 3:
n(x+2)^n3^n+1 = n(x+2)^n3 cdot 3^n = n3 ( x+23 )^n
Então, a série fica:
sum n3 ( x+23 )^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série sum an converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
No nosso caso, an = n3 ( x+23 )^n.

Passo 4

Vamos calcular a razão entre an+1 e an:
an+1an = n+13 ( x+23 )^n+1n3 ( x+23 )^n = n+1n cdot x+23
Simplificando, temos:
| an+1an | = | n+1n | cdot | x+23 |

Passo 5

Vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | n+1n | cdot | x+23 | = 1 cdot | x+23 | = | x+23 |
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| x+23 | < 1

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
| x + 2 | < 3
Isso significa que:
-3 < x + 2 < 3
Subtraindo 2 em todos os lados:
-5 < x < 1
O raio de convergência é o valor que multiplica o termo (x+2), que é 3.

Resposta

O intervalo de convergência é -5 < x < 1 e o raio de convergência é 3.

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