1. Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0
onde u=u(x, y).
3. u=sin (x-y)

Passo 1

Temos a função u(x,y)=sin(x-y) e queremos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem usando a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a derivação em relação a x:
ux=cos(x-y), uxx=-sin(x-y)

Passo 3

Agora aplicamos a derivação em relação a y:
uy=-cos(x-y), uyy=-sin(x-y)

Passo 4

Substituindo na equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2 =-sin(x-y)-l(-sin(x-y)r) =0

Passo 5

Como a diferença das segundas derivadas é zero, concluímos que u=sin(x-y) satisfaz a equação de Laplace proposta.

Resposta

A função u=sin(x-y) satisfaz a equação de Laplace partial^2upartial x^2-partial^2upartial y^2=0.

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