Escrever os três primeiros termos diferentes de zero dos desenvolvimentos em série de potências de x das seguintes funções:
tg x;

Passo 1

O exercício pede pra gente encontrar os três primeiros termos diferentes de zero do desenvolvimento em série de potências de tgx em torno de x=0. Isso faz parte de Série de Taylor (ou Maclaurin) e envolve lembrar as expansões de sin x e cos x, usar divisão de séries (ou seja, dividir sin x por cos x) e coletar os primeiros termos não-nulos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as séries de Maclaurin de sin x e cos x até a ordem que nos interessa (até x^5):
sin x = x - x^36 + x^5120 + cdots
cos x = 1 - x^22 + x^424 + cdots
Como tgx = dfracsin xcos x, vamos calcular essa divisão de séries.

Passo 3

Uma forma mais tranquila é lembrar a expansão de sec x = 1cos x até a mesma ordem:
sec x = 1 + x^22 + 5x^424 + cdots
Agora fazemos
tgx = sin x;sec x =l(x - x^36 + x^5120r),l(1 + x^22 + 5x^424r)

Passo 4

Basta multiplicar e coletar termos até x^5:
  • Termo em x: xcdot1 = x
    - Termo em x^3:
    $$x\cdot\frac{x^2}{2} ;+;\Bigl(-\frac{x^3}{6}\Bigr)\cdot1= \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{3}. xcdotx^22 ;+;l(-x^36r)cdot1 = x^32 - x^36 = x^33x\cdot\frac{5x4}{24};+;\Bigl(-\tfrac{x3}{6}\Bigr)\cdot\frac{x2}{2};+;\frac{x5}{120}\cdot1$$ x^5

Resposta

Os três primeiros termos diferentes de zero do desenvolvimento em série de potências de tgx são:
tgx = x + x^33 + 2,x^515 + cdots

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