Escrever os três primeiros termos diferentes de zero dos desenvolvimentos em série de potências de
das seguintes funções:
;
Passo 1
O exercício pede pra gente encontrar os três primeiros termos diferentes de zero do desenvolvimento em série de potências de
em torno de
. Isso faz parte de Série de Taylor (ou Maclaurin) e envolve lembrar as expansões de
e
, usar divisão de séries (ou seja, dividir
por
) e coletar os primeiros termos não-nulos.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as séries de Maclaurin de
e
até a ordem que nos interessa (até
):
Como
Passo 3
Uma forma mais tranquila é lembrar a expansão de
até a mesma ordem:
Agora fazemos
Passo 4
Basta multiplicar e coletar termos até
:
- Termo em
:
- Termo em:
$$x\cdot\frac{x^2}{2} ;+;\Bigl(-\frac{x^3}{6}\Bigr)\cdot1= \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} = \frac{x^3}{3}.x\cdot\frac{5x4}{24};+;\Bigl(-\tfrac{x3}{6}\Bigr)\cdot\frac{x2}{2};+;\frac{x5}{120}\cdot1$$
Resposta
Os três primeiros termos diferentes de zero do desenvolvimento em série de potências de
são: