Seja
na qual m pode ser negativo e não limitado a valores inteiros. Mostre que a aplicação direta da Série de Maclaurin para
resulta em:
.
chamada expansão Binomial, onde a quantidade
, que é igual a
é denominada coeficiente binomial.
chamada expansão Binomial, onde a quantidade
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente pegar a função
onde
pode ser até negativo ou não inteiro, e usar a Série de Maclaurin (ou seja, expandir em potências de
ao redor de
) pra mostrar que resulta na famosa Expansão Binomial:
com
Conteúdo: Série de Maclaurin e derivadas de
. Vamos precisar
- lembrar a fórmula geral da Série de Maclaurin;
- calcular a
-ésima derivada de ; - avaliar tudo em
e montar o termo geral.
Passo 2
Primeiro a Série de Maclaurin de uma função
é
Aqui,
é a derivada de ordem
avaliada em
. Então nosso objetivo é achar uma expressão geral pra
, com
.
Passo 3
Vamos ver como funcionam as primeiras derivadas de
:
-
-
(regra do expoente: traz pra frente e diminui o expoente em 1) -
-
Você já percebeu o padrão? A cada derivada a gente multiplica pelo próximo fator decrescente
, e diminui em 1 o expoente de
. Logo, por indução, a derivada de ordem
é:
Passo 4
Agora avaliamos isso em
:
Isso é um produto de
termos, chamado às vezes de “fatorial decrescente”.
Passo 5
O coeficiente na Série de Maclaurin será
Por definição isso é exatamente o coeficiente binomial estendido
Então montamos a série:
Resposta
Logo, aplicando direto a Série de Maclaurin em
a gente chega à Expansão Binomial: