Seja f(x)=(1+x)^m na qual m pode ser negativo e não limitado a valores inteiros. Mostre que a aplicação direta da Série de Maclaurin para f(x) resulta em:
(1+x)^m=1+m x+m(m-1)2! x^2+cdots (1+x)^m=sumn=0^infty m!n!(m-n)! x^n=sumn=0^inftybinommn x^n.
chamada expansão Binomial, onde a quantidade binommn, que é igual a m!/[n!(m-n)!] é denominada coeficiente binomial.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar a função
f(x) = (1+x)^m
onde (1+x)^m = sumn=0^infty binommn x^n pode ser até negativo ou não inteiro, e usar a Série de Maclaurin (ou seja, expandir em potências de binommn = m!n!(m-n)!(coeficiente binomial) ao redor de ) pra mostrar que resulta na famosa Expansão Binomial:
com
Conteúdo: Série de Maclaurin e derivadas de . Vamos precisar
  1. lembrar a fórmula geral da Série de Maclaurin;
  2. calcular a -ésima derivada de ;
  3. avaliar tudo em e montar o termo geral.

Passo 2

Primeiro a Série de Maclaurin de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n é
Aqui, é a derivada de ordem avaliada em . Então nosso objetivo é achar uma expressão geral pra , com .

Passo 3

Vamos ver como funcionam as primeiras derivadas de f^(n)(x) ;=; m,(m-1),cdotsl(m-(n-1)r),(1+x)^m-n :
  • (regra do expoente: traz pra frente e diminui o expoente em 1)
Você já percebeu o padrão? A cada derivada a gente multiplica pelo próximo fator decrescente , e diminui em 1 o expoente de . Logo, por indução, a derivada de ordem é:

Passo 4

Agora avaliamos isso em f^(n)(0) = m,(m-1),(m-2),cdotsl(m-(n-1)r),(1+0)^m-n = m,(m-1),cdotsl(m-(n-1)r) :
Isso é um produto de termos, chamado às vezes de “fatorial decrescente”.

Passo 5

O coeficiente na Série de Maclaurin será
f^(n)(0)n! = m,(m-1),cdotsl(m-(n-1)r)n!
Por definição isso é exatamente o coeficiente binomial estendido
binommn = m!n!,(m-n)! longrightarrow m,(m-1),cdots(m-n+1)n!
Então montamos a série:
(1+x)^m =sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n =sumn=0^infty binommn,x^n

Resposta

Logo, aplicando direto a Série de Maclaurin em boxed(1+x)^m ;=; 1 + m,x + m(m-1)2!,x^2 + m(m-1)(m-2)3!,x^3 + cdots ;=;sumn=0^inftybinommnx^n a gente chega à Expansão Binomial:

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