Sejam as séries de potências de
, a saber,
I) Série de Taylor:
II) Série de Maclaurin:
- Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
I) Série de Taylor:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, ao desenvolver a função
como série de potências (no caso, série de Maclaurin, porque expandimos em torno de 0), a gente chega em
O conteúdo aqui é Série de Maclaurin (caso especial da Série de Taylor com
) e o que precisamos é calcular as derivadas de
em
e aplicar a fórmula
Passo 2
Vamos achar as derivadas de
.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Perceba o padrão: para
,
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas em
:
Na fórmula de Maclaurin temos
Para
,
. Para
:
Passo 4
Juntando tudo:
Escrevendo os primeiros termos: