Sejam as séries de potências de x, a saber,
I) Série de Taylor:
& f(x)=f(a)+(x-a) f^prime(a)+(x-a)^22! f^prime prime(a)+cdots & =sumn=0^infty (x-a)^nn! f^(n)(a)
II) Série de Maclaurin:
f(x)=f(0)+x f^prime(0)+x^22! f^prime prime(0)+cdots=sumn=0^infty x^nn! f^(n)(0)
  • Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
    ln (1-x)=-x-x^22-x^33-x^44-ldots-x^nn-

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, ao desenvolver a função
f(x)=ln(1-x)
como série de potências (no caso, série de Maclaurin, porque expandimos em torno de 0), a gente chega em
ln(1-x)=-x-x^22-x^33-cdots-x^nn-cdots
O conteúdo aqui é Série de Maclaurin (caso especial da Série de Taylor com f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!;x^n ) e o que precisamos é calcular as derivadas de em e aplicar a fórmula

Passo 2

Vamos achar as derivadas de f'(x)=ddxln(1-x)=11-xcdot(-1)=-,(1-x)^-1 .
  1. Primeira derivada:
f''(x)=ddxl[-(1-x)^-1r] =-1cdotl(-1r)(1-x)^-2cdot(-1) =-(1-x)^-2
  1. Segunda derivada:
f'''(x)=ddxl[-(1-x)^-2r] =-2,(1-x)^-3
  1. Terceira derivada:
f^(n)(x) = -,(n-1)!,(1-x)^-n
Perceba o padrão: para ,

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em f^(n)(0) = -,(n-1)!,underbrace(1-0)^-n=1 = -,(n-1)! :
ln(1-x) =sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n
Na fórmula de Maclaurin temos
f^(n)(0)n!,x^n =-,(n-1)!n!,x^n =-1n,x^n
Para , . Para :

Passo 4

Juntando tudo:
ln(1-x) =0 + sumn=1^infty l(-1nx^nr) =-sumn=1^infty x^nn
Escrevendo os primeiros termos:
ln(1-x) =-x-x^22-x^33-x^44-cdots

Resposta

boxedln(1-x)=-sumn=1^inftyx^nn=-x-x^22-x^33-x^44-cdots

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