Nos problemas de 13 a 20, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
14. y'' + 2y' + 2y = sen(αt) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e convolução para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa resolver uma equação diferencial com condições iniciais. Aqui, queremos encontrar a função que satisfaz a equação e também passa pelos valores iniciais dados (nesse caso, e ).

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial em uma equação algébrica, mais fácil de resolver.

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Sabemos que:

Passo 5

Substituindo as condições iniciais e , temos:

Passo 6

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Para encontrar , precisamos aplicar a Transformada de Laplace inversa. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando a propriedade de convolução. Isso significa que a solução no domínio do tempo será a convolução da Transformada de Laplace inversa de com .

Passo 9

Primeiro, vamos encontrar a Transformada inversa de . Completando o quadrado no denominador:
Então,

Passo 10

Agora, usando a propriedade de convolução:

Resposta

A solução do problema em função de uma convolução é:

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