Nos problemas de 13 a 20, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
14.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e convolução para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa resolver uma equação diferencial com condições iniciais. Aqui, queremos encontrar a função
que satisfaz a equação e também passa pelos valores iniciais dados (nesse caso,
e
).
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial em uma equação algébrica, mais fácil de resolver.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Sabemos que:
Passo 5
Substituindo as condições iniciais
e
, temos:
Passo 6
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada de Laplace inversa. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando a propriedade de convolução. Isso significa que a solução no domínio do tempo será a convolução da Transformada de Laplace inversa de
com
.
Passo 9
Primeiro, vamos encontrar a Transformada inversa de
. Completando o quadrado no denominador:
Então,
Passo 10
Agora, usando a propriedade de convolução:
Resposta
A solução do problema em função de uma convolução é: