Mostre que a função f(x, y)=x yy-2 x^3 não tem limite quando (x, y) (0,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
lim(x,y)to(0,0)x,yy-2x^3
O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis: vamos usar a técnica de trajetórias — isto é, aproximar (x,y)to(0,0) por duas curvas diferentes e ver que os limites diferem.

Passo 2

Aproximemos por retas do tipo y= m x, com mneq0. Substituindo:
f(x,mx) = xcdot (m x)m x-2x^3 = m x^2x,(m-2x^2) = m xm-2x^2
Como m é constante, ao fazermos xto0 temos
limxto0f(x,m x) = limxto0m xm-2x^2 = 0

Passo 3

Agora aproximemos por uma curva em que o denominador anule-se de ordem 4, por exemplo
y = 2x^3 + x^4
Então
fl(x,,2x^3+x^4r) = x,(2x^3+x^4)l(2x^3+x^4r)-2x^3 = 2x^4 + x^5x^4 = 2 + x,
e assim
limxto0fl(x,2x^3+x^4r) = 2

Passo 4

Como ao aproximar por y=mx o limite vale 0 e ao aproximar por y=2x^3+x^4 vale 2, os limites não coincidem. Pela definição de limite em várias variáveis, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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