Uma esfera de 0,8m de raio e 2,5 kg de massa é colocada para girar em torno de um eixo que toca a sua extremidade. Encontre o seu momento de inercia, sabendo que o momento de inercia de uma esfera girando ao redor de um eixo que atravessa seu centro é dado pela expressao 2/5*mr^2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera com raio de 0,8 metros e massa de 2,5 kg que está girando em torno de um eixo que toca a sua extremidade. O que a gente precisa encontrar aqui é o momento de inércia dessa esfera nessa condição. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de física de rotação e a fórmula do momento de inércia que já conhecemos para uma esfera girando ao redor do seu centro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o momento de inércia da esfera quando ela gira em torno do seu próprio centro. A fórmula que você já mencionou é:
Aqui, $ m $ é a massa da esfera e $ r $ é o raio.
Passo 3
Agora, como a esfera não está girando ao redor do seu centro, mas sim em torno de um eixo que está na sua extremidade, precisamos ajustar o momento de inércia. Para isso, vamos usar o Teorema do Eixo Paralelo. Esse teorema nos diz que:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia em relação ao novo eixo.
- $ I_{centro} $ é o momento de inércia em relação ao centro (que já calculamos).
- $ d $ é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
No nosso caso, a distância $ d $ é igual ao raio da esfera, que é 0,8 metros. Então, vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
- Massa $ m = 2,5 $ kg
- Raio $ r = 0,8 $ m
Aplicando na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos $ \frac{2}{5} \times 2,5 \times (0,8)^2 $:
- $ \frac{2}{5} \times 2,5 = 1 $
- $ 1 \times (0,8)^2 = 1 \times 0,64 = 0,64 $
Depois, calculamos $ 2,5 \times (0,8)^2 $:
- $ 2,5 \times 0,64 = 1,6 $
Agora, somamos os dois resultados:
- $ 0,64 + 1,6 = 2,24 $
Resposta
O momento de inércia da esfera em relação ao eixo que toca a sua extremidade é 2,24 kg·m².