Uma esfera de aço inoxidável de 2 cm de diâmetro
;
é aquecida uniformemente ate
. Ela será temperada, mergulhando-se-a de repente em um banho de óleo a T1
. Se a têmpera ocorre quando a esfera atinge
e o coeficiente de transferência de calor entre o óleo e a esfera for
, quanto tempo deve a esfera ser conservada no óleo? Se forem temperadas 100 esferas por minuto, determine a taxa de calor que deve ser retirada do banho de óleo por minuto, a fim de manter sua temperatura a
.
Passo 1
Dados fornecidos (copiei diretamente do enunciado):
Perguntas:
- Quanto tempo a esfera deve ficar no óleo (banho a
) para atingir ?\n - Se forem temperadas
esferas por minuto e o banho for mantido a , qual a taxa de calor que deve ser retirada do banho por minuto para mantê-lo nessa temperatura?
Passo 2
Verificação da hipótese de corpo lumped (método das capacidades concentradas). Vou calcular o número de Biot:
onde o comprimento característico para uma esfera é
. Como
, temos
Agora calculo
:
Interpretação didática: se
a variação de temperatura dentro do sólido é pequena e podemos considerar a temperatura uniforme no corpo (modelo lumped). Aqui
, portanto o método lumped é válido.
Passo 3
Apresento a equação do método lumped (explicando o que é cada termo): para um corpo com temperatura uniforme trocando calor por convecção com um meio à temperatura
,
Significado das variáveis:
-
é a temperatura do corpo no tempo . -
é a temperatura inicial do corpo. -
é a temperatura do fluido infinito (banho). -
é o coeficiente de transferência de calor por convecção. -
é a área de superfície do corpo. -
é o volume do corpo. -
é a densidade do material. -
é o calor específico.
A origem física rápida: energia perdida por convecção por unidade de tempo ée a variação de energia interna do corpo é . Igualando e separando variáveis chega-se à expressão exponencial acima.
Passo 4
Calculo das grandezas geométricas e térmicas necessárias:
Explicação prática:
é a “capacidade térmica” da esfera (J/°C) — quanto de energia é necessária para variar 1 °C a temperatura da esfera.]
Passo 5
Determinação do tempo para a esfera esfriar de
até
no banho a
.
Primeiro encontro o parâmetro exponencial
ou o tempo característico
:
Da equação lumped:
Substituo
,
,
:
Logo
Cálculo numérico:
, então
Interpretação: para o banho a
levará cerca de
segundos até a esfera atingir
.
Passo 6
Taxa de calor a ser retirada do banho quando temperamos
esferas por minuto e mantemos o banho a
.
Explicação do raciocínio: cada esfera, ao ser mergulhada fria, cede ao banho a energia correspondente à queda de sua temperatura de
até a temperatura de retirada
(assumimos que retiramos a esfera do banho quando atinge
). A energia cedida por esfera é
Usando
e
:
Para
esferas por minuto:
Se quisermos converter para potência média (W), dividimos por
:
Interpretação prática: para manter o banho a
é necessário retirar do banho, em média, cerca de
por minuto, ou aproximadamente
.