Uma esfera de aço inoxidável de 2 cm de diâmetro \left[\rho=7865 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right.; \left.\mathrm{Cp}=400 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{k}=61 \mathrm{~W} / \mathrm{m}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] é aquecida uniformemente ate \mathrm{Ti}=800^{\circ} \mathrm{C}. Ela será temperada, mergulhando-se-a de repente em um banho de óleo a T1 =50^{\circ} \mathrm{C}. Se a têmpera ocorre quando a esfera atinge 100^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor entre o óleo e a esfera for 300 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}, quanto tempo deve a esfera ser conservada no óleo? Se forem temperadas 100 esferas por minuto, determine a taxa de calor que deve ser retirada do banho de óleo por minuto, a fim de manter sua temperatura a 40^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Dados fornecidos (copiei diretamente do enunciado):
\begin{aligned} &\text{diâmetro da esfera }=2\\ \mathrm{cm}\Rightarrow r=0{,}01\\ \mathrm{m},\\\ &\rho=7865\\ \mathrm{kg/m^3},\quad c_p=400\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)},\quad k=61\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)},\\\ &T_i=800^\circ\mathrm{C}\\ (\text{temperatura inicial da esfera}),\\\ &T_\infty\text{(banho de óleo para a 1ª parte)}=50^\circ\mathrm{C},\quad h=300\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)},\\\ &\text{temperamento ocorre quando a esfera atinge }100^\circ\mathrm{C}.\\\ \end{aligned}âóª
Perguntas:
  1. Quanto tempo a esfera deve ficar no óleo (banho a 50^\circ\mathrm{C}) para atingir 100^\circ\mathrm{C}?\n
  2. Se forem temperadas 100 esferas por minuto e o banho for mantido a 40^\circ\mathrm{C}, qual a taxa de calor que deve ser retirada do banho por minuto para mantê-lo nessa temperatura?

Passo 2

Verificação da hipótese de corpo lumped (método das capacidades concentradas). Vou calcular o número de Biot:
Bi=\frac{h L_c}{k},
onde o comprimento característico para uma esfera é L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{r}{3}. Como r=0{,}01\\ \mathrm{m}, temos
L_c=\dfrac{0{,}01}{3}=0{,}003333\ldots\\ \mathrm{m}.
Agora calculo Bi:
Bi=\frac{300\cdot 0{,}003333\ldots}{61}= \frac{1{,}0}{61}\approx 0{,}0164.
Interpretação didática: se Bi<0{,}1 a variação de temperatura dentro do sólido é pequena e podemos considerar a temperatura uniforme no corpo (modelo lumped). Aqui Bi\approx0{,}0164\ll0{,}1, portanto o método lumped é válido.

Passo 3

Apresento a equação do método lumped (explicando o que é cada termo): para um corpo com temperatura uniforme trocando calor por convecção com um meio à temperatura T_\infty,
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\left(-\frac{hA}{\rho V c_p}\,t\right).
Significado das variáveis:
  • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t.
  • T_i é a temperatura inicial do corpo.
  • T_\infty é a temperatura do fluido infinito (banho).
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • A é a área de superfície do corpo.
  • V é o volume do corpo.
  • \rho é a densidade do material.
  • c_p é o calor específico.
    A origem física rápida: energia perdida por convecção por unidade de tempo é hA(T-T_\infty) e a variação de energia interna do corpo é m c_p \,\mathrm{d}T/dt. Igualando e separando variáveis chega-se à expressão exponencial acima.

Passo 4

Calculo das grandezas geométricas e térmicas necessárias:
\begin{aligned} &A=4\pi r^2=4\pi(0{,}01)^2=4\pi\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\approx 1{,}25664\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2},\\[4pt] &V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}01)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^3}\approx 4{,}18879\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3},\\[4pt] &m=\rho V=7865\cdot 4{,}18879\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}\approx 0{,}032934\\ \mathrm{kg},\\[4pt] &m c_p=0{,}032934\cdot 400\\ \mathrm{J/^\circ C}\approx 13{,}1736\\ \mathrm{J/^\circ C},\\[4pt] &hA=300\cdot 1{,}25664\times10^{-3}\\ \mathrm{W/^\circ C}\approx 0{,}376992\\ \mathrm{W/^\circ C}. \end{aligned}
Explicação prática: m c_p é a “capacidade térmica” da esfera (J/°C) — quanto de energia é necessária para variar 1 °C a temperatura da esfera.]

Passo 5

Determinação do tempo para a esfera esfriar de T_i=800^\circ\mathrm{C} até T(t)=100^\circ\mathrm{C} no banho a T_\infty=50^\circ\mathrm{C}.
Primeiro encontro o parâmetro exponencial \dfrac{hA}{\rho V c_p} ou o tempo característico \tau:
\tau=\frac{\rho V c_p}{hA}=\frac{m c_p}{hA}=\frac{13{,}1736}{0{,}376992}\\ \mathrm{s}\approx 34{,}948\\ \mathrm{s}.
Da equação lumped:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=e^{-t/\tau}.
Substituo T(t)=100^\circ\mathrm{C}, T_\infty=50^\circ\mathrm{C}, T_i=800^\circ\mathrm{C}:
\frac{100-50}{800-50}=\frac{50}{750}=\frac{1}{15}=e^{-t/\tau}.
Logo
t=\tau\ln(15)\approx 34{,}948\cdot \ln(15).
Cálculo numérico: \ln(15)\approx 2{,}70805, então
t\approx 34{,}948\cdot 2{,}70805\approx 94{,}66\\ \mathrm{s}\approx 1{,}578\\ \mathrm{min}.
Interpretação: para o banho a 50^\circ\mathrm{C} levará cerca de 95 segundos até a esfera atingir 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Taxa de calor a ser retirada do banho quando temperamos 100 esferas por minuto e mantemos o banho a 40^\circ\mathrm{C}.
Explicação do raciocínio: cada esfera, ao ser mergulhada fria, cede ao banho a energia correspondente à queda de sua temperatura de T_i=800^\circ\mathrm{C} até a temperatura de retirada T_f=100^\circ\mathrm{C} (assumimos que retiramos a esfera do banho quando atinge 100^\circ\mathrm{C}). A energia cedida por esfera é
Q_{\text{por esfera}}=m c_p (T_i-T_f).
Usando m c_p\approx 13{,}1736\\ \mathrm{J/^\circ C} e (T_i-T_f)=700^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{por esfera}}=13{,}1736\cdot 700\\ \mathrm{J}\approx 9{,}22152\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Para 100 esferas por minuto:
Q_{\text{por minuto}}=100\cdot 9{,}22152\times 10^{3}\\ \mathrm{J}\approx 9{,}22152\times 10^{5}\\ \mathrm{J/min}.
Se quisermos converter para potência média (W), dividimos por 60\\ \mathrm{s/min}:
\dot{Q}=\frac{9{,}22152\times 10^{5}}{60}\\ \mathrm{W}\approx 1{,}53792\times 10^{4}\\ \mathrm{W}\approx 15{,}38\\ \mathrm{kW}.
Interpretação prática: para manter o banho a 40^\circ\mathrm{C} é necessário retirar do banho, em média, cerca de 9{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{J} por minuto, ou aproximadamente 15{,}4\\ \mathrm{kW}.

Resposta

t\approx 94{,}7\\ \mathrm{s} \;(\approx 1{,}58\\ \mathrm{min})\n
Q_{\text{retirada}}\approx 9{,}22\times 10^{5}\\ \mathrm{J/min}\;=\;1{,}54\times 10^{4}\\ \mathrm{W}

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