Uma esfera de aço com V=0,20 \mathrm{~L} é aquecida de 0,0 \mathrm{C} a 100 C a pressão constante. Considerando a densidade, o calor específico e o coeficiente de expansão térmica volumétrico, como o trabalho realizado pela esfera se compara com o calor recebido? O que isso significa em termos de C_{p} e C_{V} ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de aço de volume inicial V=0,20 L aquecida de 0{,}0{}^\circ\mathrm{C} a 100{}^\circ\mathrm{C} à pressão constante. Para avaliar o trabalho de expansão e compará-lo com o calor recebido, vamos usar: densidade \rho do aço, calor específico c, coeficiente de expansão volumétrica \beta e pressão externa p. Em seguida vamos relacionar isso com C_p e C_V.

Passo 2

Converter o volume para o SI e calcular a massa da esfera.
V = 0{,}20\text{ L} = 2{,}0\times10^{-4}\text{ m}^3
Densidade típica do aço:
\rho \approx 7{,}8\times10^{3}\text{ kg/m}^3
Logo
m = \rho\,V = 7{,}8\times10^{3}\times2{,}0\times10^{-4} = 1{,}56\text{ kg}.
O calor recebido a pressão constante é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde c\approx500,J/(kg·K) e \Delta T=100,K. Assim
Q = 1{,}56\times500\times100 = 7,8\times10^{4}\text{ J}.

Passo 3

Calcular a variação de volume e o trabalho de expansão.
Coeficiente volumétrico do aço
\beta\approx3\alpha\approx3\times(12\times10^{-6}\text{/K})=36\times10^{-6}\text{/K}.
Portanto
\Delta V = \beta\,V\,\Delta T =36\times10^{-6}\times2{,}0\times10^{-4}\times100 =7{,}2\times10^{-7}\text{ m}^3.
A pressão externa é p=1{,}0\times10^{5},Pa, daí o trabalho
W = p\,\Delta V =1{,}0\times10^{5}\times7{,}2\times10^{-7} =7,2\times10^{-2}\text{ J}.

Passo 4

Comparar trabalho e calor:
\frac{W}{Q} =\frac{7,2\times10^{-2}}{7,8\times10^{4}} \approx9,2\times10^{-7},
logo W\ll Q. O trabalho de expansão é completamente desprezível em relação ao calor absorvido.

Passo 5

Em termodinâmica de sólidos a diferença entre C_p e C_V é
C_p - C_V = \frac{W}{\Delta T} =\frac{7,2\times10^{-2}}{100} =7,2\times10^{-4}\text{ J/K}.
Como C_p\approx m\,c=1{,}56\times500=780,J/K, essa diferença é ínfima. Portanto,
C_p\approx C_V para a esfera de aço nesse aquecimento.

Resposta

O trabalho de expansão ( \sim0{,}07 J) é desprezível frente ao calor absorvido ( \sim7,8\times10^{4} J), de modo que C_p\approx C_V.

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