Uma esfera de alumínio com 4 cm de diâmetro está a uma temperatura de
é colocada em um banho a
. Considerando
, quanto tempo leva para atingir
?
Dados do alumínio:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pedido: determinar o tempo necessário para que a esfera de alumínio atinja
quando colocada em um banho a . - Condições iniciais e propriedades dadas:
- Temperatura inicial da esfera:
. - Temperatura do banho (fluido):
. - Temperatura alvo:
. - Coeficiente de transferência convectiva:
. - Diâmetro da esfera:
.
- Temperatura inicial da esfera:
- Propriedades do alumínio (fornecidas):
- Condutividade térmica:
. - Capacidade térmica mássica:
. - Densidade:
.
- Condutividade térmica:
Nada mais será pedido além do tempo até
.
Passo 2
Escolha do método (justificativa rápida).
- Para problemas de aquecimento/transiente de corpos sólidos por convecção, existe um método simples chamado de “método de capacitância concentrada” (lumped-capacitance), que assume que a temperatura dentro do corpo é uniforme no tempo — ou seja, o corpo troca calor com o fluido, mas internamente não há gradientes significativos de temperatura.
- Essa hipótese é válida quando o número de Biot é pequeno:
, onde é o comprimento característico do corpo (para uma esfera ). - Então primeiro vou calcular
. Se for bem menor que , uso a solução exponencial do método lumped. Se não for, teria que resolver a equação de difusão (muito mais trabalhosa).
Passo 3
Cálculo do número de Biot para verificar validade da aproximação lumped-capacitance.
- Raio da esfera:
- Volume da esfera:
- Área superficial:
- Comprimento característico:
- Número de Biot:
- Interpretação:
. Logo a aproximação de corpo de capacitância concentrada (lumped-capacitance) é justificadamente válida. Podemos tratar a esfera como tendo temperatura uniforme que varia no tempo.
Passo 4
Equação de evolução da temperatura no método lumped-capacitance e significado das variáveis.
- Balanço de energia (forma differential): taxa de variação de energia interna do corpo = fluxo convectivo na superfície.
Onde: -
é a massa do corpo ( ), -
é a capacidade térmica mássica ( ), -
é a temperatura do corpo no tempo , -
é a temperatura do fluido (banho), -
é o coeficiente convectivo, -
é a área superficial.
-
- Essa equação é linear e separável; sua solução (com
) é: onde a constante de tempo térmica é - Interpretando:
é o tempo característico do aquecimento; após a diferença de temperatura caiu para (≈ ) do valor inicial.
Passo 5
Cálculo da massa
, da constante de tempo
e substituição numérica.
- Massa da esfera:
- Capacidade térmica mássica em unidades adequadas:
. - Constante de tempo:
Agora calcular passo a passo:
Logo
Passo 6
Resolver a equação transiente para obter o tempo necessário para
.
- Usando a solução
substituindo , , : Simplificando: Tomando logaritmo natural: - Numérico:
- Convertendo para minutos:
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo.
- Resultado prático: a esfera de alumínio aquece relativamente rápido — cerca de seis minutos para ir de
a no banho a , dada a alta condutividade do alumínio e a pequena dimensão da esfera. - Você fez certinho ao verificar o número de Biot antes; esse é o passo que justifica usar a solução exponencial simples na prova. Vai dar certo!