Uma esfera de alumínio com 4 cm de diâmetro está a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} é colocada em um banho a 100^{\circ} \mathrm{C}. Considerando \mathrm{h}_{\infty}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, quanto tempo leva para atingir 75^{\circ} \mathrm{C} ?
Dados do alumínio:
\begin{aligned} & \mathrm{k}=161 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} \\\ & \mathrm{Cp}=0,854 \mathrm{KJ} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} \\\ & \rho=2667 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: determinar o tempo necessário para que a esfera de alumínio atinja 75^\circ\mathrm{C} quando colocada em um banho a 100^\circ\mathrm{C}.
  • Condições iniciais e propriedades dadas:
    • Temperatura inicial da esfera: T_i = 20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do banho (fluido): T_\infty = 100^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura alvo: T(t) = 75^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de transferência convectiva: h_\infty = 50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
    • Diâmetro da esfera: D = 4\\ \mathrm{cm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Propriedades do alumínio (fornecidas):
    • Condutividade térmica: k = 161\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}.
    • Capacidade térmica mássica: c_p = 0{,}854\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C} = 854\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}.
    • Densidade: \rho = 2667\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Nada mais será pedido além do tempo até 75^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método (justificativa rápida).
  • Para problemas de aquecimento/transiente de corpos sólidos por convecção, existe um método simples chamado de “método de capacitância concentrada” (lumped-capacitance), que assume que a temperatura dentro do corpo é uniforme no tempo — ou seja, o corpo troca calor com o fluido, mas internamente não há gradientes significativos de temperatura.
  • Essa hipótese é válida quando o número de Biot é pequeno: \mathrm{Bi} = \dfrac{h L_c}{k} \ll 0{,}1, onde L_c é o comprimento característico do corpo (para uma esfera L_c = V/A).
  • Então primeiro vou calcular \mathrm{Bi}. Se for bem menor que 0{,}1, uso a solução exponencial do método lumped. Se não for, teria que resolver a equação de difusão (muito mais trabalhosa).

Passo 3

Cálculo do número de Biot para verificar validade da aproximação lumped-capacitance.
  • Raio da esfera: r = \frac{D}{2} = \frac{0{,}04}{2} = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Volume da esfera: V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0{,}02)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8{,}0\times10^{-6} = 3{,}351032\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Área superficial: A = 4\pi r^2 = 4\pi (0{,}02)^2 = 4\pi \cdot 4{,}0\times10^{-4} = 0{,}00502655\\ \mathrm{m}^2.
  • Comprimento característico: L_c = \frac{V}{A} = \frac{3{,}351032\times10^{-5}}{0{,}00502655} = 6{,}6667\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Número de Biot: \mathrm{Bi} = \frac{h_\infty L_c}{k} = \frac{50\cdot 6{,}6667\times10^{-3}}{161} = \frac{0{,}333333}{161} \approx 0{,}00207.
  • Interpretação: \mathrm{Bi}\approx 0{,}00207 \ll 0{,}1. Logo a aproximação de corpo de capacitância concentrada (lumped-capacitance) é justificadamente válida. Podemos tratar a esfera como tendo temperatura uniforme que varia no tempo.

Passo 4

Equação de evolução da temperatura no método lumped-capacitance e significado das variáveis.
  • Balanço de energia (forma differential): taxa de variação de energia interna do corpo = fluxo convectivo na superfície. m c_p \frac{dT}{dt} = - h_\infty A \bigl(T(t) - T_\infty\bigr).Onde:
    • m é a massa do corpo ( \mathrm{kg}),
    • c_p é a capacidade térmica mássica ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}),
    • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t,
    • T_\infty é a temperatura do fluido (banho),
    • h_\infty é o coeficiente convectivo,
    • A é a área superficial.
  • Essa equação é linear e separável; sua solução (com T(0)=T_i) é: T(t) = T_\infty + \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\,e^{-t/\tau},onde a constante de tempo térmica é \tau = \frac{m c_p}{h_\infty A}.
  • Interpretando: \tau é o tempo característico do aquecimento; após t=\tau a diferença de temperatura T(t)-T_\infty caiu para e^{-1} (≈ 36{,}8\%) do valor inicial.

Passo 5

Cálculo da massa m, da constante de tempo \tau e substituição numérica.
  • Massa da esfera: m = \rho V = 2667\cdot 3{,}351032\times10^{-5} = 0{,}089355\\ \mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).
  • Capacidade térmica mássica em unidades adequadas: c_p = 854\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • Constante de tempo: \tau = \frac{m c_p}{h_\infty A} = \frac{0{,}089355\cdot 854}{50\cdot 0{,}00502655}.Agora calcular passo a passo: m c_p = 0{,}089355 \times 854 \approx 76{,}31\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C},
h_\infty A = 50 \times 0{,}00502655 = 0{,}251327\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Logo
\tau \approx \frac{76{,}31}{0{,}251327} \approx 303{,}6\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resolver a equação transiente para obter o tempo necessário para T(t)=75^\circ\mathrm{C}.
  • Usando a solução T(t) = T_\infty + (T_i - T_\infty)\,e^{-t/\tau},substituindo T(t)=75^\circ\mathrm{C}, T_\infty=100^\circ\mathrm{C}, T_i=20^\circ\mathrm{C}: 75 - 100 = (20 - 100)\,e^{-t/\tau}.Simplificando: -25 = -80\,e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau} = \frac{25}{80} = 0{,}3125.Tomando logaritmo natural: -\frac{t}{\tau} = \ln(0{,}3125)\quad\Rightarrow\quad t = -\tau \ln(0{,}3125).
  • Numérico: \ln(0{,}3125) \approx -1{,}16315,
t \approx 303{,}6 \times 1{,}16315 \approx 353{,}3\\ \mathrm{s}.
  • Convertendo para minutos: 353{,}3\\ \mathrm{s} \approx 5{,}89\\ \mathrm{min} \approx 5\\ \mathrm{min}\\\ 53\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo.
  • Resultado prático: a esfera de alumínio aquece relativamente rápido — cerca de seis minutos para ir de 20^\circ\mathrm{C} a 75^\circ\mathrm{C} no banho a 100^\circ\mathrm{C}, dada a alta condutividade do alumínio e a pequena dimensão da esfera.
  • Você fez certinho ao verificar o número de Biot antes; esse é o passo que justifica usar a solução exponencial simples na prova. Vai dar certo!

Resposta

t \approx 353{,}3\\ \mathrm{s} \approx 5{,}89\\ \mathrm{min}

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