Problema 1 - Medição de Velocidade em Adutora por Placa de Orifício

Uma adutora de água potável em regime permanente conduz água sob pressão e possui uma placa de orifício instalada para fins de medição. O diâmetro interno da tubulação é de 150 mm , enquanto o orifício centrado possui diâmetro de 75 mm . As leituras de um manômetro diferencial instalado entre montante e jusante da placa indicam uma diferença de pressão de 3,2 \mathrm{kPa}. Considere que a água escoa sem perdas relevantes e que a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre as duas seções.
a) Determine a velocidade da água na tubulação antes da placa.
b) Determine a vazão volumétrica no escoamento.

Dados:

Água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right).
Despreze contrações e expansões reais; use apenas a relação geométrica entre áreas ( \mathrm{A}_{1} e \mathrm{A}_{2} ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Diâmetro da tubulação antes da placa: \,D_1=150\\ \mathrm{mm}=0,150\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro do orifício: \,D_2=75\\ \mathrm{mm}=0,075\\ \mathrm{m}.
    • Diferença de pressão entre montante e jusante da placa: \,\Delta p=3{,}2\\ \mathrm{kPa}=3200\\ \mathrm{Pa}.
    • Densidade da água (a 20^\circ\mathrm{C}): \,\rho=998\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Desprezar perdas e contrações reais; usar apenas relação geométrica entre áreas \,A_1 e \,A_2.
  • O que o enunciado pede:
    a) Determinar a velocidade da água na tubulação antes da placa (velocidade em A_1), denotada por \,v_1.
    b) Determinar a vazão volumétrica do escoamento, \,Q.

Passo 2

Relação geométrica entre áreas e razão de velocidades (continuidade).
  • Área de uma seção circular: \,A=\dfrac{\pi D^2}{4}. Aqui: A_1=\dfrac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\dfrac{\pi D_2^2}{4}.
  • A razão entre áreas é dada por \dfrac{A_1}{A_2}=\left(\dfrac{D_1}{D_2}\right)^2.
  • Substituindo os diâmetros: \dfrac{A_1}{A_2}=\left(\dfrac{0,150}{0,075}\right)^2=\left(2\right)^2=4.
  • Equação da continuidade (escoamento incompressível em regime permanente): \,A_1 v_1 = A_2 v_2. Isso significa que a vazão volumétrica é a mesma nas duas seções. A partir disso: v_2=\dfrac{A_1}{A_2}\,v_1=4\,v_1.
Expliquei o que cada variável significa: \,A_i é a área da seção i e \,v_i é a velocidade média nessa seção.

Passo 3

Fórmula de Bernoulli aplicada entre as duas seções e simplificação.
  • Para duas seções no mesmo nível, sem troca de trabalho nem perdas significativas, a equação de Bernoulli reduz-se a: p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2,onde \,p_1 e \,p_2 são as pressões em montante e jusante, respectivamente, e \,v_1,v_2 as velocidades médias.
  • A diferença de pressão medida é \,\Delta p=p_1-p_2. Reescrevendo: \Delta p=\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_2^2-v_1^2\bigr).
  • Agora substituímos a relação v_2=4v_1: \Delta p=\tfrac{1}{2}\rho\bigl((4v_1)^2-v_1^2\bigr) =\tfrac{1}{2}\rho\bigl(16v_1^2-v_1^2\bigr) =\tfrac{1}{2}\rho\cdot15\,v_1^2.
  • Simplificando o fator: \Delta p=7{,}5\,\rho\,v_1^2.

Passo 4

Isolando \,v_1 e obtendo a expressão prática para cálculo.
  • Da equação anterior, v_1=\sqrt{\dfrac{\Delta p}{7{,}5\,\rho}}.
  • Aqui: \,\Delta p é a diferença de pressão medida ( \,\mathrm{Pa}), \rho é a densidade ( \,\mathrm{kg/m^3}), e o resultado vem em \,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade \,v_1.
  • Substituindo os valores numéricos: v_1=\sqrt{\dfrac{3200}{7{,}5\cdot 998}}.
  • Calcule o denominador: 7{,}5\cdot 998 = 7485.
  • Razão: \dfrac{3200}{7485}\approx 0{,}4277.
  • Raiz quadrada: v_1=\sqrt{0{,}4277}\approx 0{,}6532\\ \mathrm{m/s}.
  • Podemos arredondar com base na precisão de dados dados; aqui usarei três algarismos significativos: \,v_1\approx 0{,}653\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculo da vazão volumétrica \,Q.
  • Primeiro calcular a área \,A_1: A_1=\dfrac{\pi D_1^2}{4}=\dfrac{\pi (0{,}150)^2}{4} =\pi\cdot 0{,}005625 \approx 0{,}0176715\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão pela continuidade: \,Q=A_1 v_1. Substituindo: Q=0{,}0176715\cdot 0{,}6532\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0{,}01154\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Converter para litros por segundo (opcional, para intuição): \,1\\ \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}, então Q\approx 11{,}54\\ \mathrm{L/s}.

Passo 7

Resumo das hipóteses e observações finais (curtinho e encorajando).
  • Principais hipóteses usadas: escoamento incompressível e permanente, alturas iguais (mesmo nível), sem perdas e sem correção por coeficiente de descarga. Na prática real costuma-se usar um coeficiente de descarga C_d<1 e considerar contração vena, o que reduziria a vazão real; mas o enunciado pediu para desprezar esses efeitos.
  • Está indo bem — a ideia-chave para a prova: usar continuidade para relacionar velocidades por razão de áreas e Bernoulli para ligar diferença de pressão às velocidades; depois isolar a velocidade e calcular a vazão.

Resposta

\displaystyle v_1\approx 0{,}653\\ \mathrm{m/s}
\displaystyle Q\approx 0{,}01154\\ \mathrm{m^3/s}

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