Problema 2 - Jato Ascendente em Fonte Ornamental
Uma fonte ornamental envia água verticalmente para cima através de um bocal conectado a um reservatório pressurizado. O bocal possui diâmetro de 20 mm e está localizado 3 m acima da superfície livre do reservatório. A pressão absoluta na câmara do bocal é de 250 kPa , enquanto a superfície livre do reservatório está exposta à pressão atmosférica ( 101 kPa ). A água é considerada incompressível e sem perdas entre o reservatório e o bocal.
a) Calcule a velocidade da água ao sair do bocal.
b) Determine a altura máxima teórica atingida pelo jato acima do bocal.
Dica: aplique Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e a saída do bocal, considerando a diferença de pressão e a diferença de cota.
a) Calcule a velocidade da água ao sair do bocal.
b) Determine a altura máxima teórica atingida pelo jato acima do bocal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a velocidade da água ao sair do bocal.
- (b) Determinar a altura máxima teórica atingida pelo jato acima do bocal.
Informações dadas (pegue estas do enunciado):
- Diâmetro do bocal:
. - Altura do bocal acima da superfície livre do reservatório:
. - Pressão absoluta na câmara do bocal (pressão dentro da câmara, antes da saída):
. - Pressão na superfície livre do reservatório (pressão atmosférica):
. - A água é considerada incompressível e não há perdas entre o reservatório e o bocal.
- Constantes usuais que usaremos: densidade da água
e aceleração da gravidade .
Observação importante para a resolução (sem começar a resolver ainda): o jato, ao sair, está exposto ao ar, então a pressão imediatamente na saída do bocal é a pressão atmosférica
. A pressão dada de
refere-se à câmara que alimenta o bocal (antes da saída).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar — explicação didática e passo a passo do que é Bernoulli.
Bernoulli (para escoamento estacionário, incompressível e sem perdas) diz que, ao longo de uma linha de corrente,
O que significa cada termo:
-
é a “energia de pressão” por unidade de massa (unidade: ). -
é a energia potencial por unidade de massa (altura vezes ). -
é a energia cinética por unidade de massa.
Unidades: todos os termos têm unidades de
, pois
.
Assunção prática que simplifica o cálculo: a câmara que alimenta o bocal é grande comparada ao orifício de saída, portanto a velocidade do fluido na câmara pode ser considerada desprezível (
). No bocal, ao sair para o ar, a pressão externa é atmosférica
.
Vamos aplicar Bernoulli entre dois pontos:
- ponto 1: dentro da câmara, imediatamente antes do bocal (pressão
, velocidade , cota ); - ponto 2: jato imediatamente fora do bocal (pressão
, velocidade desconhecida, cota , mesma cota já que a saída está na mesma altura da câmara).
Por isso as contribuições
cancelam (mesma cota) e a equação fica simples.
Passo 3
Aplicando Bernoulli entre ponto 1 (câmara, antes da saída) e ponto 2 (saída, jato no ar):
Colocando
e
(portanto
), obtemos:
Isolando
:
Aqui:
-
, -
, -
.
Passo 4
Substituição numérica com contas demonstradas:
Primeiro calcular a diferença de pressão por unidade de massa:
Então
Calculando a raiz:
Interpretação rápida: essa é a velocidade com que a água sai do bocal no momento da saída (exatamente na boca).
Passo 5
Agora determinamos a altura máxima teórica atingida pelo jato acima do bocal (desprezando resistência do ar). Para um lançamento vertical com velocidade inicial
, a altura máxima adicional
(acima do ponto de saída) vem de conservação da energia (energia cinética vira energia potencial) ou da fórmula de cinemática:
Substituindo
e
:
Arredondando de forma prática,
.
Observação: essa é a altura máxima teórica acima do bocal, sem considerar perda por atrito no jato e sem considerar resistência do ar (na prática o jato alcançaria bem menos).
Passo 6
(Bônus didático — opcional) Se quiser o vazão volumétrica
, podemos calcular usando a velocidade e a área do bocal:
(Isto é só para intuição sobre quanto de água sai por segundo.)
Resposta
(a)
(b)