Problema 2 - Jato Ascendente em Fonte Ornamental

Uma fonte ornamental envia água verticalmente para cima através de um bocal conectado a um reservatório pressurizado. O bocal possui diâmetro de 20 mm e está localizado 3 m acima da superfície livre do reservatório. A pressão absoluta na câmara do bocal é de 250 kPa , enquanto a superfície livre do reservatório está exposta à pressão atmosférica ( 101 kPa ). A água é considerada incompressível e sem perdas entre o reservatório e o bocal.
a) Calcule a velocidade da água ao sair do bocal.
b) Determine a altura máxima teórica atingida pelo jato acima do bocal.
Dica: aplique Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e a saída do bocal, considerando a diferença de pressão e a diferença de cota.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a velocidade da água ao sair do bocal.
  • (b) Determinar a altura máxima teórica atingida pelo jato acima do bocal.
Informações dadas (pegue estas do enunciado):
  • Diâmetro do bocal: D=20\\ \mathrm{mm}.
  • Altura do bocal acima da superfície livre do reservatório: 3\\ \mathrm{m}.
  • Pressão absoluta na câmara do bocal (pressão dentro da câmara, antes da saída): p_{\text{câmara}}=250\\ \mathrm{kPa}â.
  • Pressão na superfície livre do reservatório (pressão atmosférica): p_{\text{atm}}=101\\ \mathrm{kPa}.
  • A água é considerada incompressível e não há perdas entre o reservatório e o bocal.
  • Constantes usuais que usaremos: densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação importante para a resolução (sem começar a resolver ainda): o jato, ao sair, está exposto ao ar, então a pressão imediatamente na saída do bocal é a pressão atmosférica p_{\text{atm}}. A pressão dada de 250\\ \mathrm{kPa} refere-se à câmara que alimenta o bocal (antes da saída).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar — explicação didática e passo a passo do que é Bernoulli.
Bernoulli (para escoamento estacionário, incompressível e sem perdas) diz que, ao longo de uma linha de corrente,
\frac{p}{\rho} + gz + \frac{v^{2}}{2}=\text{constante}.
O que significa cada termo:
  • \dfrac{p}{\rho} é a “energia de pressão” por unidade de massa (unidade: \mathrm{m^{2}/s^{2}}).
  • gz é a energia potencial por unidade de massa (altura vezes g).
  • \dfrac{v^{2}}{2} é a energia cinética por unidade de massa.
Unidades: todos os termos têm unidades de \mathrm{m^{2}/s^{2}}, pois \dfrac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{kg/m^{3}}}=\mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Assunção prática que simplifica o cálculo: a câmara que alimenta o bocal é grande comparada ao orifício de saída, portanto a velocidade do fluido na câmara pode ser considerada desprezível ( v_{\text{câmara}}\approx0â). No bocal, ao sair para o ar, a pressão externa é atmosférica p_{\text{atm}}.
Vamos aplicar Bernoulli entre dois pontos:
  • ponto 1: dentro da câmara, imediatamente antes do bocal (pressão p_{1}=p_{\text{câmara}}=250\\ \mathrm{kPa}â, velocidade v_{1}\approx0, cota z_{1}=3\\ \mathrm{m});
  • ponto 2: jato imediatamente fora do bocal (pressão p_{2}=p_{\text{atm}}=101\\ \mathrm{kPa}, velocidade v_{2} desconhecida, cota z_{2}=3\\ \mathrm{m}, mesma cota já que a saída está na mesma altura da câmara).
Por isso as contribuições gz cancelam (mesma cota) e a equação fica simples.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre ponto 1 (câmara, antes da saída) e ponto 2 (saída, jato no ar):
\frac{p_{1}}{\rho} + gz_{1} + \frac{v_{1}^{2}}{2}=\frac{p_{2}}{\rho} + gz_{2} + \frac{v_{2}^{2}}{2}.
Colocando v_{1}\approx0 e z_{1}=z_{2} (portanto gz_{1}=gz_{2}), obtemos:
\frac{p_{1}}{\rho} = \frac{p_{2}}{\rho} + \frac{v_{2}^{2}}{2}.
Isolando v_{2}:
\frac{v_{2}^{2}}{2} = \frac{p_{1}-p_{2}}{\rho} \qquad\Rightarrow\qquad v_{2}=\sqrt{2\,\frac{p_{1}-p_{2}}{\rho}}.
Aqui:
  • p_{1}=250\\ \mathrm{kPa}=250000\\ \mathrm{Pa},
  • p_{2}=101\\ \mathrm{kPa}=101000\\ \mathrm{Pa},
  • \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Substituição numérica com contas demonstradas:
Primeiro calcular a diferença de pressão por unidade de massa:
\frac{p_{1}-p_{2}}{\rho}=\frac{250000-101000}{1000} =\frac{149000}{1000}=149{,}0\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Então
v_{2}=\sqrt{2\cdot 149{,}0}=\sqrt{298{,}0}.
Calculando a raiz:
v_{2}\approx 17{,}26\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: essa é a velocidade com que a água sai do bocal no momento da saída (exatamente na boca).

Passo 5

Agora determinamos a altura máxima teórica atingida pelo jato acima do bocal (desprezando resistência do ar). Para um lançamento vertical com velocidade inicial v_{0}=v_{2}, a altura máxima adicional H (acima do ponto de saída) vem de conservação da energia (energia cinética vira energia potencial) ou da fórmula de cinemática:
H=\frac{v_{0}^{2}}{2g}.
Substituindo v_{0}=17{,}26\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
H=\frac{(17{,}26)^{2}}{2\cdot 9{,}81} =\frac{297{,}9}{19{,}62}\approx 15{,}19\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática, H\approx 15{,}2\\ \mathrm{m}.
Observação: essa é a altura máxima teórica acima do bocal, sem considerar perda por atrito no jato e sem considerar resistência do ar (na prática o jato alcançaria bem menos).

Passo 6

(Bônus didático — opcional) Se quiser o vazão volumétrica Q, podemos calcular usando a velocidade e a área do bocal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}02)^{2}}{4}=\pi\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 3{,}1416\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Q=A v_{2}\approx 3{,}1416\times 10^{-4}\cdot 17{,}26\approx 5{,}42\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}=5{,}42\\ \mathrm{L/s}.
(Isto é só para intuição sobre quanto de água sai por segundo.)

Resposta

(a) v_{\text{saída}}\approx 17{,}26\\ \mathrm{m/s}í
(b) H_{\text{máx}}\approx 15{,}19\\ \mathrm{m}á

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