Purê de tomate deve ser aquecido de 15 até
em um tacho cilíndrico encamisado, equipado com um agitador mecânico que garante um elevado grau de agitação. Empregando como meio de aquecimento vapor saturado com pressão absoluta igual a
, determine o tempo necessário para que o produto atinja aquela temperatura.
Passo 1
O enunciado (o que nos deram) e o que é pedido:
- Dado: o purê de tomate deve ser aquecido de
até . - Dado: o aquecimento é feito em um tacho cilíndrico encamisado com agitador mecânico que garante elevado grau de agitação.
- Dado: o meio de aquecimento é vapor saturado à pressão absoluta
. - Pedido: determinar o tempo necessário para que o produto atinja
.
Informações relevantes que NÃO foram fornecidas (mas são necessárias para um cálculo numérico):
- massa ou volume do purê (ou dimensões do tacho para achar a massa);
- densidade
e capacidade térmica específica do purê (ou valor de ); - área de troca térmica
entre a camisa e o produto (área efetiva de transferência de calor); - coeficiente global de transferência de calor
(que engloba condensação do vapor, resistência do casco e convecção no interior); - confirmação de desprezíveis perdas para o ambiente (ou se há perdas que devem ser consideradas).
Sem esses dados numéricos não há como calcular um tempo numérico único. A seguir eu mostro, passo a passo, o método correto (didaticamente) e como usar os dados quando eles estiverem disponíveis — assim você aprende a resolver na prova.
Passo 2
Escolha do método (por que usar tal modelo)
- O agitador mecânico garante mistura intensa: isso torna a temperatura do purê aproximadamente homogênea no interior do tacho (ou seja, o purê se comporta como um corpo bem misturado). Nessas condições é apropriado usar o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance), que reduz o problema a uma equação ordinária simples.
- No modelo de lumped capacitance usamos a forma diferencial da balança de energia:
onde cada termo será explicado a seguir. Esse modelo é válido quando a resistência térmica interna do produto é desprezível frente à resistência à transferência na superfície; a agitação intensa é um bom argumento para adotar esse modelo em exercícios de prova.
Passo 3
Significado das variáveis e unidades (aula rápida)
-
é a massa do purê, em . -
é a capacidade térmica específica do purê, em . -
é a área de troca térmica entre a camisa e o produto, em . -
é o coeficiente global de transferência de calor (englobando condensação do vapor, condução através do casco e convecção no produto), em . -
é a temperatura do purê no instante , em ou K (diferenças de temperatura em K e são numericamente iguais). -
é a temperatura de superfície proporcionada pelo vapor saturado (temperatura de saturação do vapor na pressão dada), em . - Observação: todas as unidades devem ser coerentes; eu usarei
, , , , , .
Passo 4
Dedução da expressão do tempo (resolver a ODE)
A equação diferencial
A equação diferencial
é linear e separável. Reorganizando e integrando desde
com
até
com
:
A integral do lado esquerdo dá
. Assim:
Resolvendo para
e tomando
(temperatura final desejada), obtemos a fórmula prática
onde
é a temperatura inicial (
) e
é a final (
). Essa é a fórmula que deve ser usada na prova quando tiver os parâmetros
.
Passo 5
Como obter
a partir da pressão do vapor (passo prático)
- Foi dado vapor saturado à pressão absoluta
. - Converter para SI:
(aprox.). - A temperatura de saturação correspondente deve ser obtida em tabelas de vapor (ou Mollier). Consultando a tabela de vapor saturado para
encontra-se aproximadamente (usar a tabela disponível na prova para precisão). - Observação: use o valor exato da tabela que tiver na prova. Aqui estou indicando o procedimento: converter a pressão e olhar na tabela de vapor saturado para obter
.
Passo 6
Interpretação física e escolha de
(aula prática)
-
depende fortemente de como o vapor condensa na camisa e de como é a convecção no purê. Em tacho encamisado com vapor saturado e bom agitador, o lado do vapor geralmente apresenta alta condutância (condensação), e o lado do produto também é eficiente por agitação. Em livros e práticas industriais, valores típicos de para tachos agitadores podem variar, por exemplo, de até , dependendo do projeto e isolamento. - Se na prova for dado
, usar direto. Se não for dado, NÃO inventar — pedir ou consultar tabela do enunciado. Se for questão de estimativa, escolha valor plausível e justifique.
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo (mostra como aplicar a fórmula na prova)
- Suponha, apenas como ilustração, os seguintes valores plausíveis (apenas para ver como fica o cálculo; estes valores NÃO vieram do enunciado):
-
(massa do purê), -
(capacidade típica próxima da água para purês), -
(área efetiva de troca), -
, -
(da tabela para a pressão dada), -
, .
-
- Calcule o tempo usando a fórmula:
- Interpretação: com os valores ilustrativos acima o aquecimento é rápido (alguns minutos). Mas repito: isso é só um exemplo numérico para ilustrar o uso da fórmula; o resultado real depende dos valores reais de
.
Passo 8
Resumo do procedimento que você terá que fazer na prova (passo-a-passo curto)
- Converter a pressão do vapor para Pa e consultar a tabela de vapor saturado para obter
. - Reunir dados: massa
(ou volume+densidade), , área , coeficiente . - Usar a fórmula
e calcular (em segundos se em e em ). - Verificar unidades e, se necessário, converter para minutos.
Passo 9
Observações finais e incentivo
- Não se assuste: na prova normalmente vão fornecer (ou permitir assumir) valores de
ou pedir uma expressão simbólica. A parte conceitual que você precisa dominar é: justificar o uso do modelo lumped (mistura intensa), saber obter de tabelas de vapor e aplicar a fórmula exponencial. - Se quiser, eu posso aplicar a fórmula para um conjunto específico de valores (por exemplo, se você tiver massa do purê e dimensões do tacho) e calcular o tempo passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o tempo com os dados fornecidos (faltam
,
,
e
). A expressão a ser usada é
com
obtido na tabela de vapor saturado para
(aprox.
).