Purê de tomate deve ser aquecido de 15 até 65^{\circ} \mathrm{C} em um tacho cilíndrico encamisado, equipado com um agitador mecânico que garante um elevado grau de agitação. Empregando como meio de aquecimento vapor saturado com pressão absoluta igual a 1,25 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}, determine o tempo necessário para que o produto atinja aquela temperatura.

Passo 1

O enunciado (o que nos deram) e o que é pedido:
  • Dado: o purê de tomate deve ser aquecido de 15^\circ\mathrm{C} até 65^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: o aquecimento é feito em um tacho cilíndrico encamisado com agitador mecânico que garante elevado grau de agitação.
  • Dado: o meio de aquecimento é vapor saturado à pressão absoluta 1,25\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Pedido: determinar o tempo necessário para que o produto atinja 65^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes que NÃO foram fornecidas (mas são necessárias para um cálculo numérico):
  • massa ou volume do purê (ou dimensões do tacho para achar a massa);
  • densidade \rho e capacidade térmica específica c do purê (ou valor de m c);
  • área de troca térmica A entre a camisa e o produto (área efetiva de transferência de calor);
  • coeficiente global de transferência de calor U (que engloba condensação do vapor, resistência do casco e convecção no interior);
  • confirmação de desprezíveis perdas para o ambiente (ou se há perdas que devem ser consideradas).
Sem esses dados numéricos não há como calcular um tempo numérico único. A seguir eu mostro, passo a passo, o método correto (didaticamente) e como usar os dados quando eles estiverem disponíveis — assim você aprende a resolver na prova.

Passo 2

Escolha do método (por que usar tal modelo)
  • O agitador mecânico garante mistura intensa: isso torna a temperatura do purê aproximadamente homogênea no interior do tacho (ou seja, o purê se comporta como um corpo bem misturado). Nessas condições é apropriado usar o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance), que reduz o problema a uma equação ordinária simples.
  • No modelo de lumped capacitance usamos a forma diferencial da balança de energia: m c\,\frac{dT}{dt}=A U\left(T_s-T\right),onde cada termo será explicado a seguir. Esse modelo é válido quando a resistência térmica interna do produto é desprezível frente à resistência à transferência na superfície; a agitação intensa é um bom argumento para adotar esse modelo em exercícios de prova.

Passo 3

Significado das variáveis e unidades (aula rápida)
  • m é a massa do purê, em \mathrm{kg}.
  • c é a capacidade térmica específica do purê, em \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • A é a área de troca térmica entre a camisa e o produto, em \mathrm{m^2}.
  • U é o coeficiente global de transferência de calor (englobando condensação do vapor, condução através do casco e convecção no produto), em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • T(t) é a temperatura do purê no instante t, em ^\circ\mathrm{C} ou K (diferenças de temperatura em K e ^\circ\mathrm{C} são numericamente iguais).
  • T_s é a temperatura de superfície proporcionada pelo vapor saturado (temperatura de saturação do vapor na pressão dada), em ^\circ\mathrm{C}.
  • Observação: todas as unidades devem ser coerentes; eu usarei J, W, s, \mathrm{m^2}, \mathrm{kg}, K.

Passo 4

Dedução da expressão do tempo (resolver a ODE)
A equação diferencial
m c\,\frac{dT}{dt}=A U\left(T_s-T\right)
é linear e separável. Reorganizando e integrando desde t=0 com T(0)=T_i até t=t com T(t)=T:
\int_{T_i}^{T}\frac{dT'}{T_s-T'}=\int_{0}^{t}\frac{A U}{m c}\,dt'.
A integral do lado esquerdo dá -\ln\!\left(\dfrac{T_s-T}{T_s-T_i}\right). Assim:
-\ln\!\left(\frac{T_s-T}{T_s-T_i}\right)=\frac{A U}{m c}\,t.
Resolvendo para t e tomando T=T_f (temperatura final desejada), obtemos a fórmula prática
\boxed{\,t=\frac{m c}{A U}\,\ln\!\left(\frac{T_s-T_i}{T_s-T_f}\right)\,}
onde T_i é a temperatura inicial ( 15^\circ\mathrm{C}) e T_f é a final ( 65^\circ\mathrm{C}). Essa é a fórmula que deve ser usada na prova quando tiver os parâmetros m,c,A,U.

Passo 5

Como obter T_s a partir da pressão do vapor (passo prático)
  • Foi dado vapor saturado à pressão absoluta 1,25\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Converter para SI: 1{,}25\\ \mathrm{kgf/cm^2}=1{,}25\times 98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}=122\,583\\ \mathrm{Pa} (aprox.).
  • A temperatura de saturação correspondente deve ser obtida em tabelas de vapor (ou Mollier). Consultando a tabela de vapor saturado para P\approx122{,}6\\ \mathrm{kPa} encontra-se aproximadamente T_s\approx 105^\circ\mathrm{C} (usar a tabela disponível na prova para precisão).
  • Observação: use o valor exato da tabela que tiver na prova. Aqui estou indicando o procedimento: converter a pressão e olhar na tabela de vapor saturado para obter T_s.

Passo 6

Interpretação física e escolha de U (aula prática)
  • U depende fortemente de como o vapor condensa na camisa e de como é a convecção no purê. Em tacho encamisado com vapor saturado e bom agitador, o lado do vapor geralmente apresenta alta condutância (condensação), e o lado do produto também é eficiente por agitação. Em livros e práticas industriais, valores típicos de U para tachos agitadores podem variar, por exemplo, de \sim 300 até \sim 3000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, dependendo do projeto e isolamento.
  • Se na prova for dado U, usar direto. Se não for dado, NÃO inventar — pedir ou consultar tabela do enunciado. Se for questão de estimativa, escolha valor plausível e justifique.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (mostra como aplicar a fórmula na prova)
  • Suponha, apenas como ilustração, os seguintes valores plausíveis (apenas para ver como fica o cálculo; estes valores NÃO vieram do enunciado):
    • m=100\\ \mathrm{kg} (massa do purê),
    • c=3900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (capacidade típica próxima da água para purês),
    • A=1{,}5\\ \mathrm{m^2} (área efetiva de troca),
    • U=1000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},
    • T_s=105^\circ\mathrm{C} (da tabela para a pressão dada),
    • T_i=15^\circ\mathrm{C}, T_f=65^\circ\mathrm{C}.
  • Calcule o tempo usando a fórmula: \tau=\frac{m c}{A U}=\frac{100\times 3900}{1{,}5\times 1000}=\frac{390000}{1500}=260\\ \mathrm{s}.
t=\tau\ln\!\left(\frac{T_s-T_i}{T_s-T_f}\right)=260\ln\!\left(\frac{105-15}{105-65}\right)=260\ln\!\left(\frac{90}{40}\right).
\ln\!\left(\frac{90}{40}\right)=\ln(2{,}25)\approx 0{,}81093.
t\approx 260\times 0{,}81093\approx 211\\ \mathrm{s}\approx 3{,}5\\ \mathrm{min}.
  • Interpretação: com os valores ilustrativos acima o aquecimento é rápido (alguns minutos). Mas repito: isso é só um exemplo numérico para ilustrar o uso da fórmula; o resultado real depende dos valores reais de m,c,A,U.

Passo 8

Resumo do procedimento que você terá que fazer na prova (passo-a-passo curto)
  1. Converter a pressão do vapor para Pa e consultar a tabela de vapor saturado para obter T_s.
  2. Reunir dados: massa m (ou volume+densidade), c, área A, coeficiente U.
  3. Usar a fórmula t=\frac{m c}{A U}\,\ln\!\left(\frac{T_s-T_i}{T_s-T_f}\right)e calcular t (em segundos se c em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e U em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}).
  4. Verificar unidades e, se necessário, converter para minutos.

Passo 9

Observações finais e incentivo
  • Não se assuste: na prova normalmente vão fornecer (ou permitir assumir) valores de m,c,A,U ou pedir uma expressão simbólica. A parte conceitual que você precisa dominar é: justificar o uso do modelo lumped (mistura intensa), saber obter T_s de tabelas de vapor e aplicar a fórmula exponencial.
  • Se quiser, eu posso aplicar a fórmula para um conjunto específico de valores (por exemplo, se você tiver massa do purê e dimensões do tacho) e calcular o tempo passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o tempo com os dados fornecidos (faltam m, c, A e U). A expressão a ser usada é
t=\frac{m c}{A U}\,\ln\!\left(\frac{T_s-T_i}{T_s-T_f}\right),
com T_s obtido na tabela de vapor saturado para P=1{,}25\\ \mathrm{kgf/cm^2} (aprox. 105^\circ\mathrm{C}).

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