(3,0) Seja f(x, y)=x y^2 e D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 3 e x >= 0.
(a) Encontre todos os pontos críticos de f no interior de D.
(b) Determine o valor máximo e valor mínimo de f em D e diga em quais pontos eles são atingidos.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x,y^2
no semidisco fechado
D=l(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=3,;x>=0r
Precisamos:
(a) encontrar todos os pontos críticos de f no interior de D (onde nabla f=0 com x>0 e x^2+y^2<3);
(b) determinar o valor máximo e o valor mínimo de f em D, indicando onde eles ocorrem (analisando também as fronteiras).

Passo 2

Para achar os pontos críticos no interior, calculamos o gradiente:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(y^2,,2x y)
Igualando a zero, obtemos
y^2=0e2x y=0
Da primeira vem y=0. Substituindo em 2x y=0 não impomos restrição adicional, salvo x>0. Como ainda precisamos de x^2+0^2<3, concluímos que os pontos críticos no interior são
(x,0)mid0<x<raiz3

Passo 3

Na fronteira vertical x=0 com |y|<=raiz3, temos
f(0,y)=0forall yin[-raiz3,raiz3]
Portanto nesta parte da fronteira f vale sempre zero.

Passo 4

Na fronteira curva x^2+y^2=3 com x>=0, usamos a parametrização
x=raiz3costheta, y=raiz3sintheta, thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]
Assim
f(theta) =raiz3costheta;l(raiz3sinthetar)^2 =3raiz3,costhetasin^2theta
Derivando em theta,
f'(theta) =3raiz3l(-sinthetasin^2theta+2costhetasinthetacosthetar) =3raiz3,sintheta,(3cos^2theta-1)
As soluções em l[-tfracpi2,tfracpi2r] são
sintheta=0 ( theta=0) e cos^2theta=tfrac13 ( theta=pmarccostfrac1raiz3).
  • Em theta=0: f=0.
  • Em costheta=1/raiz3, temos sin^2theta=2/3 e
f =3raiz3cdot1raiz3cdot23 =2
Os pontos correspondentes são
x=raiz3cdot1raiz3=1, y=pmraiz3sintheta=pmraiz2,
ou seja (1,pmraiz2).

Passo 5

Reunindo tudo, f(x,y)>=0 em D.
O menor valor é
min f=0,
atingido sempre que y=0 (com 0<= x<=raiz3) ou x=0 (com |y|<=raiz3).
O maior valor é
max f=2,
atingido apenas nos pontos l(1,raiz2r) e l(1,-raiz2r).

Resposta

(a) Os pontos críticos no interior são (x,0)mid0<x<raiz3.
(b) O valor mínimo de f em D é 0, atingido em (x,0)mid0<= x<=raiz3cup(0,y)mid|y|<=raiz3. O valor máximo é 2, atingido em l(1,raiz2r) e l(1,-raiz2r).

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