Seja
e
e
.
(a) Encontre todos os pontos críticos de
no interior de
.
(b) Determine o valor máximo e valor mínimo de
em
e diga em quais pontos eles são atingidos.
(a) Encontre todos os pontos críticos de
(b) Determine o valor máximo e valor mínimo de
Passo 1
O enunciado define a função
no semidisco fechado
Precisamos:
(a) encontrar todos os pontos críticos de no interior de
(onde
com
e
);
(b) determinar o valor máximo e o valor mínimo de em
, indicando onde eles ocorrem (analisando também as fronteiras).
(a) encontrar todos os pontos críticos de
(b) determinar o valor máximo e o valor mínimo de
Passo 2
Para achar os pontos críticos no interior, calculamos o gradiente:
Igualando a zero, obtemos
Da primeira vem
. Substituindo em
não impomos restrição adicional, salvo
. Como ainda precisamos de
, concluímos que os pontos críticos no interior são
Passo 3
Na fronteira vertical
com
, temos
Portanto nesta parte da fronteira
vale sempre zero.
Passo 4
Na fronteira curva
com
, usamos a parametrização
Assim
Derivando em
,
As soluções em
são
(
) e
(
).
- Em
: . - Em
, temos e
Os pontos correspondentes são
ou seja
.
Passo 5
Reunindo tudo,
em
.
O menor valor é
O menor valor é
atingido sempre que
(com
) ou
(com
).
O maior valor é
O maior valor é
atingido apenas nos pontos
e
.
Resposta
(a) Os pontos críticos no interior são
.
(b) O valor mínimo de em
é
, atingido em
. O valor máximo é
, atingido em
e
.
(b) O valor mínimo de