Uma esfera com 8 , 0 c m de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme rho=4 5 0 n C / m^3. Determine o campo elétrico em r=2 cm.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem uma esfera de raio R = 8,0 cm com densidade volumétrica de carga uniforme
.
A pergunta é: qual o campo elétrico em um ponto que fica a r = 2 cm do centro?
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática, campo de uma distribuição esférica com simetria. Vamos precisar de:
  1. converter unidades (cm → m e nC → C),
  2. aplicar a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio r ≤ R,
  3. calcular a carga interna Q_enc e daí achar E®.

Passo 2

Teoria básica: pela simetria esférica, o campo elétrico a uma distância r do centro é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana (esfera de raio r). A Lei de Gauss diz:
Phi = oint Ecdot dA ;=;Qrm encvarepsilon0
Como E(r);times;4pi r^2 ;=;Qrm encvarepsilon0 é perpendicular à superfície e constante em módulo,
E(r)=14pivarepsilon0,Qrm encr^2
Logo
E(r)=14pivarepsilon0,rho,(4/3)pi r^3r^2 =rho,r3,varepsilon0
Mas, para r dentro da esfera (r<R), . Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos aos valores:
  • Converter r = 2 cm → 0,02 m.
  • E(0,02) =450times10^-9,times 0,023times 8,854times10^-12 ;V/m

  • Então

Passo 4

Só calcular:
450times10^-9cdot0,023cdot8,854times10^-12 =9,0times10^-926,562times10^-12 approx 339;V/m
O sentido do campo é radial, apontando para fora da esfera, porque a carga é positiva.

Resposta

boxedE(2 cm) approx 3,39times10^2;V/m(radial para fora)

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