Uma esfera caindo de uma altura suficiente para atingir velocidade terminal na atmosfera, terá uma força de arrasto dada por FA=-0,82 cdot R^2 cdot v^2 cdot v, onde R é o raio da esfera. Calcule as velocidades terminais de duas esferas: primeira, uma bola oficial de futebol (massa de 430 g e circunferência de 69 cm ); e a segunda, uma esfera de ferro (raio de 11 cm e densidade de 7,9 g / cm^3 ).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma esfera cai atingindo a velocidade terminal quando a força peso vec P = m,vec g fica exatamente balanceada pela força de arrasto
vec FA = -0.82,R^2,v^2,hat v,
Vamos calcular essa velocidade terminal vt para duas esferas:
1) bola de futebol (massa m=430,g, circunferência C=69,cm),
2) esfera de ferro (raio R=11,cm, densidade rho=7,9,g/cm ^3).
Conteúdo: mecânica clássica – equilíbrio de forças e arrasto quadrático. Precisamos converter unidades, usar mg=FA e, no caso do ferro, achar m=rho,(4/3)pi R^3.

Passo 2

Primeiro a bola de futebol.
  1. Converter massa e raio para SI:
m1=0.430;kg, C=0,69; m;Rightarrow;R1=C2pi= 0,692piapprox0,1098; m
2) Montar a condição de equilíbrio (peso para baixo = arrasto para cima):
m1 g = 0.82,R1^2,vt1^2
  1. Isolar vt1:
vt1=raizm1,g0.82,R1^2,
4) Substituindo números ( g=9,8,m/s ^2):
vt1=raiz0.430times9.80.82,(0.1098)^2approx20,7;m/s

Passo 3

Agora a esfera de ferro.
  1. Converter raio e densidade:
R2=0.11; m, rho=7,9;gcm^3=7900;kgm^3
2) Calcular a massa m2 pelo volume de uma esfera:
$$m_2=\rho;\frac{4}{3}\pi R_2^3
=;7900;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}3}\times\frac{4}{3}\pi(0.11)3
\approx44{,}1;\mathrm{kg}. m2=rho;43pi R2^3 =;7900;kgm^3times43pi(0.11)^3 approx44,1;kgíçm_2 g = 0.82,R_22,v_{t2}2
\quad\Longrightarrow\quad
v_{t2}=\sqrt{\frac{m_2,g}{0.82,R_2^2}},. m2 g = 0.82,R2^2,vt2^2 Longrightarrow vt2=raizm2,g0.82,R2^2, v_{t2}=\sqrt{\frac{44.1\times9.8}{0.82,(0.11)^2}}\approx208{,}7;\mathrm{m/s}.$$

Resposta

Velocidade terminal da bola de futebol: vt1approx20,7;m/s.
Velocidade terminal da esfera de ferro: vt2approx208,7;m/s.

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