Uma esfera com carga q 1=+1,28 \mu C é presa em um fio isolante que faz um ângulo de 42,3^{\circ} com a horizontal e, uma segunda esfera \mathrm{q} 2=5,06 \mu \mathrm{C} pode deslizar neste fio. Quando elas se encontram separadas por uma distância \mathrm{d}=0,38 \mathrm{~m}, a força resultante sobre a segunda esfera é nula. Determine a massa da segunda esfera. Resp.: \mathbf{m}=\mathbf{6 1 g}.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas carregadas, uma fixa com
\,q_1=+1,28\,\mu\mathrm{C} presa num fio que faz ângulo \varphi=42,3^\circ com a horizontal, e outra com
\,q_2=5,06\,\mu\mathrm{C} que pode deslizar nesse mesmo fio. Quando a separação entre elas é
\,d=0,38\:\mathrm{m}, a força resultante em q_2 é nula. Vamos usar equilíbrio de forças ao longo do fio e a lei de Coulomb.

Passo 2

Identificamos as duas forças que atuam em q_2:
  1. A força eletrostática de repulsão, de módulo dado por
F_e = k\,\frac{q_1\,q_2}{d^2},
onde k=8{,}99\times10^9\:\mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
2. O peso \,\vec P que é vertical para baixo, cujo módulo é mg. Sua componente paralela ao fio (sentido para baixo ao longo do fio) vale
P_\parallel = mg\sin\varphi.

Passo 3

Para ficar em equilíbrio ao longo do fio, essas forças devem ter o mesmo módulo e sentidos opostos. Logo,
F_e = P_\parallel \quad\Longrightarrow\quad k\,\frac{q_1\,q_2}{d^2} = m\,g\,\sin\varphi.

Passo 4

Isolando a massa m, obtemos
m = \frac{k\,q_1\,q_2}{d^2\,g\,\sin\varphi}.

Passo 5

Substituindo valores (convertendo \mu\mathrm{C} em C e usando g=9,81\:\mathrm{m/s^2}, \sin42,3^\circ\approx0,673):
q_1=1,28\times10^{-6}\,\mathrm{C},\quad q_2=5,06\times10^{-6}\,\mathrm{C},\quad d=0,38\:\mathrm{m},
m = \frac{(8{,}99\times10^9)\,(1,28\times10^{-6})(5,06\times10^{-6})}{(0,38)^2\,(9,81)\,(0,673)} \approx0,061\:\mathrm{kg}.

Resposta

A massa da segunda esfera é aproximadamente 61\:\mathrm{g}.

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