Uma esfera de 3 cm de diâmetro, à temperatura de
, vai ser arrefecida por uma corrente de ar à temperatura de
, com
. Sendo as propriedades da esfera:
Passo 1
O enunciado nos dá (peguei estes dados do texto enviado):
- Diâmetro da esfera:
. Portanto o raio é . - Temperatura inicial da esfera:
. - Temperatura do ar (ambiente):
. - Coeficiente convectivo:
.
O enunciado fica incompleto na parte “Sendo as propriedades da esfera:” — essas propriedades térmicas não foram fornecidas na sua mensagem. Além disso o enunciado não especifica explicitamente o que pede (por exemplo: “calcular a temperatura em função do tempo”, ou “calcular o tempo para atingir
”, ou “verificar se o método de capacitância lumped é válido”). Portanto, com os dados que recebi, faltam informações essenciais para dar um resultado numérico definitivo:
- Condutividade térmica da esfera:
(necessária para calcular o número de Biot ). - Densidade:
(necessária para a inércia térmica). - Calor específico:
(ou , necessário para a inércia térmica). - A pergunta alvo (tempo até certa
, curva , constante de tempo, etc.).
Passo 2
O que normalmente se faz em problemas de arrefecimento de corpos pequenos (esfera) e qual método escolher — explicação didática, passo a passo.
-
Objetivo comum: calcular a evolução temporal da temperatura
da esfera ou o tempo necessário para alcançar alguma temperatura . -
Dois caminhos principais:
- Método de capacitância lumped (modelo de corpo de temperatura uniforme): trata-se de assumir que a esfera tem temperatura espacialmente uniforme
durante o resfriamento. Isso simplifica muito e dá uma expressão exponencial simples para . - Solução distribuída (equação da condução transiente em coordenadas esféricas): necessária se a resistência interna à condução for importante (isto é, quando a superfície e o interior não ficam praticamente à mesma temperatura).
- Como decidir qual usar? Usa-se o número de Biot:
onde
é o comprimento característico do corpo. Para uma esfera:
Interpretação:
compara a resistência térmica por convecção na superfície com a resistência térmica por condução interna do sólido. Regra prática:
- Se
então a resistência interna é desprezível e o método lumped é válido (temperatura aproximadamente uniforme). - Se
então a variação espacial de temperatura não pode ser desprezada e é preciso usar a solução distribuída (série de modos próprios).
- Para aplicar o teste de validade (calcular
) precisamos de (condutividade da esfera). Para prever a evolução temporal com o método lumped precisamos de e para calcular a capacitância térmica do corpo. Portanto esses três parâmetros são essenciais.
Passo 3
Se o método lumped for válido: fórmulas, dedução e interpretação (aulas passo a passo).
- Modelo físico e hipótese: assumir que a esfera tem temperatura uniforme
em todo volume. Energia trocada por convecção na superfície equivale à variação de energia interna da esfera:
Escrevendo:
onde
-
é área de superfície da esfera: . -
é volume da esfera: . -
é densidade (kg·m^{-3}). -
é o calor específico (J·kg{-1}·K{-1}). -
é coeficiente convectivo (W·m{-2}·K{-1}). -
é temperatura do fluido.
- Rearranjando e separando variáveis:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução exponencial. Definimos a constante de tempo (ou tempo característico)
Observação útil: usando
obtemos a forma equivalente
- Solução para
com condição inicial :
Interpretação: após um tempo
a diferença de temperatura cai a
(≈
) do valor inicial.
- Se a pergunta for “qual é o tempo para a esfera atingir
”, isolamos :
Cada símbolo foi explicado acima; esta fórmula permite calcular diretamente
quando todos os parâmetros estiverem disponíveis.
Passo 4
Exemplo numérico ilustrativo (uso de propriedades assumidas!) — eu vou calcular tudo passo a passo supondo valores típicos para um material (só como exemplo didático). ATENÇÃO: estes valores são suposições; se a sua esfera for de outro material os números mudam.
Escolho como exemplo a esfera feita de alumínio (apenas para mostrar como aplicar):
- Condutividade térmica assumida:
(valor típico do alumínio). - Densidade assumida:
. - Calor específico assumido:
.
Passo a passo dos cálculos (com os números já dados no Passo 1):
- Comprimento característico:
- Número de Biot:
Interpretação:
. Conclusão: para este material (alumínio) o método lumped é absolutamente válido — a esfera se mantém praticamente isoterma durante o resfriamento.
- Constante de tempo
. Uso :
Calcule passo a passo:
Interpretação: a diferença de temperatura
cai a
do valor inicial em cerca de
(≈
minutos).
- Exemplo de tempo para atingir
(como ilustração de uso da fórmula):
-
. Então a fração remanescente é
Logo
Interpretação: com as propriedades assumidas, a esfera chegaria a
em cerca de
minutos.
Observação: se a esfera fosse de outro material com
baixo (ex.: vidro, plástico),
poderia ser maior e o método lumped poderia falhar — por isso é crucial conhecer
.
Passo 5
Se
: o que fazer (visão geral sem pular etapas)
- É preciso resolver a equação da condução transiente no interior da esfera com condição de convecção na superfície. Em termos práticos usa-se a solução em série (método de separação de variáveis) e define-se o número adimensional de Fourier:
onde
é a difusividade térmica.
- A solução (para condição inicial uniforme) é expressa como uma soma infinita de modos:
onde
são raízes de uma equação transcendental que depende de
(para esfera a equação característica é
) e os coeficientes
dependem de
. Na prática usa-se:
- a aproximação de primeiro termo (somente
) para estimativas rápidas quando os termos posteriores decaem rápido; - tabelas ou software (por ex. livro de Incropera & DeWitt ou Matlab) para obter
e .
- Esta abordagem é mais trabalhosa e costuma exigir calculadora/computador para resolver a equação transcendental e somar a série. Por isso o teste do número de Biot é tão útil: evita trabalho desnecessário quando o lumped já é válido.
Passo 6
Resumo instrucional do que você precisa fazer para resolver o problema da prova (passos práticos que você pode aplicar rapidamente):
- Calcule
a partir do diâmetro (já feito: ). - Pegue os valores reais das propriedades da esfera:
. - Calcule
. - Calcule
. Se , use o modelo lumped; se não, prepare-se para usar a solução distribuída (primeiro termo ou série). - Se lumped for válido: calcule
e então com
ou o tempo para atingir
com
- Se
: consulte tabelas para e , calcule e use a expressão em série (ou software).
Resposta
Não é possível fornecer um resultado numérico definitivo porque faltam as propriedades térmicas da esfera (condutividade térmica
, densidade
e calor específico
) e o enunciado não especifica qual quantidade deseja-se calcular (por ex.
ou o tempo para atingir uma temperatura alvo).
(Se desejar, envie as propriedades
e diga qual resultado quer — por exemplo “tempo para atingir
” — que eu faço a conta passo a passo e mostro todos os detalhes.)