Uma esfera de 3 cm de diâmetro, à temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}, vai ser arrefecida por uma corrente de ar à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}, com \mathrm{h}=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Sendo as propriedades da esfera:

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei estes dados do texto enviado):
  • Diâmetro da esfera: 3\\ \mathrm{cm}. Portanto o raio é r=\dfrac{3}{2}\\ \mathrm{cm}=1{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial da esfera: T_i=100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar (ambiente): T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo: h=100\\ \mathrm{W·m^{-2}·K^{-1}}.
O enunciado fica incompleto na parte “Sendo as propriedades da esfera:” — essas propriedades térmicas não foram fornecidas na sua mensagem. Além disso o enunciado não especifica explicitamente o que pede (por exemplo: “calcular a temperatura em função do tempo”, ou “calcular o tempo para atingir 50^\circ\mathrm{C}”, ou “verificar se o método de capacitância lumped é válido”). Portanto, com os dados que recebi, faltam informações essenciais para dar um resultado numérico definitivo:
  • Condutividade térmica da esfera: k (necessária para calcular o número de Biot \mathrm{Bi}).
  • Densidade: \rho (necessária para a inércia térmica).
  • Calor específico: c (ou c_p, necessário para a inércia térmica).
  • A pergunta alvo (tempo até certa T, curva T(t), constante de tempo, etc.).

Passo 2

O que normalmente se faz em problemas de arrefecimento de corpos pequenos (esfera) e qual método escolher — explicação didática, passo a passo.
  1. Objetivo comum: calcular a evolução temporal da temperatura T(t) da esfera ou o tempo necessário para alcançar alguma temperatura T_{\text{alvo}}.
  2. Dois caminhos principais:
  • Método de capacitância lumped (modelo de corpo de temperatura uniforme): trata-se de assumir que a esfera tem temperatura espacialmente uniforme T(t) durante o resfriamento. Isso simplifica muito e dá uma expressão exponencial simples para T(t).
  • Solução distribuída (equação da condução transiente em coordenadas esféricas): necessária se a resistência interna à condução for importante (isto é, quando a superfície e o interior não ficam praticamente à mesma temperatura).
  1. Como decidir qual usar? Usa-se o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico do corpo. Para uma esfera:
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{4\pi r^{2}}=\frac{r}{3}.
Interpretação: \mathrm{Bi} compara a resistência térmica por convecção na superfície com a resistência térmica por condução interna do sólido. Regra prática:
  • Se \mathrm{Bi}<0{,}1 então a resistência interna é desprezível e o método lumped é válido (temperatura aproximadamente uniforme).
  • Se \mathrm{Bi}\gtrsim0{,}1 então a variação espacial de temperatura não pode ser desprezada e é preciso usar a solução distribuída (série de modos próprios).
  1. Para aplicar o teste de validade (calcular \mathrm{Bi}) precisamos de k (condutividade da esfera). Para prever a evolução temporal com o método lumped precisamos de \rho e c para calcular a capacitância térmica do corpo. Portanto esses três parâmetros são essenciais.

Passo 3

Se o método lumped for válido: fórmulas, dedução e interpretação (aulas passo a passo).
  1. Modelo físico e hipótese: assumir que a esfera tem temperatura uniforme T(t) em todo volume. Energia trocada por convecção na superfície equivale à variação de energia interna da esfera:
\text{(taxa de perda por convecção)} = \text{(taxa de diminuição da energia interna)}.çãçã
Escrevendo:
h A \bigl(T(t)-T_\infty\bigr) = \rho V c\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t},
onde
  • A é área de superfície da esfera: A=4\pi r^{2}.
  • V é volume da esfera: V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}.
  • \rho é densidade (kg·m^{-3}).
  • c é o calor específico (J·kg{-1}·K{-1}).
  • h é coeficiente convectivo (W·m{-2}·K{-1}).
  • T_\infty é temperatura do fluido.
  1. Rearranjando e separando variáveis:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = -\frac{h A}{\rho V c}\bigl(T-T_\infty\bigr).
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução exponencial. Definimos a constante de tempo (ou tempo característico)
\tau=\frac{\rho V c}{h A}.
Observação útil: usando V/A=L_c obtemos a forma equivalente
\tau=\frac{\rho c L_c}{h}.
  1. Solução para T(t) com condição inicial T(0)=T_i:
T(t)-T_\infty = \bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\bigl(-t/\tau\bigr).
Interpretação: após um tempo \tau a diferença de temperatura cai a 1/e (≈ 36{,}8\%) do valor inicial.
  1. Se a pergunta for “qual é o tempo para a esfera atingir T_{\text{alvo}}”, isolamos t:
t = -\tau\ln\!\left(\frac{T_{\text{alvo}}-T_\infty}{T_i-T_\infty}\right).
Cada símbolo foi explicado acima; esta fórmula permite calcular diretamente t quando todos os parâmetros estiverem disponíveis.

Passo 4

Exemplo numérico ilustrativo (uso de propriedades assumidas!) — eu vou calcular tudo passo a passo supondo valores típicos para um material (só como exemplo didático). ATENÇÃO: estes valores são suposições; se a sua esfera for de outro material os números mudam.
Escolho como exemplo a esfera feita de alumínio (apenas para mostrar como aplicar):
  • Condutividade térmica assumida: k=205\\ \mathrm{W·m^{-1}·K^{-1}} (valor típico do alumínio).
  • Densidade assumida: \rho=2700\\ \mathrm{kg·m^{-3}}.
  • Calor específico assumido: c=900\\ \mathrm{J·kg^{-1}·K^{-1}}.
Passo a passo dos cálculos (com os números já dados no Passo 1):
  1. Comprimento característico:
L_c=\frac{r}{3}=\frac{0{,}015}{3}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  1. Número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{100\cdot 0{,}005}{205}= \frac{0{,}5}{205}\approx 0{,}00244.
Interpretação: \mathrm{Bi}\approx 0{,}00244 \ll 0{,}1. Conclusão: para este material (alumínio) o método lumped é absolutamente válido — a esfera se mantém praticamente isoterma durante o resfriamento.
  1. Constante de tempo \tau. Uso \tau=\dfrac{\rho c L_c}{h}:
\tau=\frac{2700\cdot 900\cdot 0{,}005}{100}.
Calcule passo a passo:
2700\cdot 900 = 2\,430\,000,
2\,430\,000\cdot 0{,}005 = 12\,150,
\tau=\frac{12\,150}{100}=121{,}5\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a diferença de temperatura T-T_\infty cai a 1/e do valor inicial em cerca de 121{,}5\\ \mathrm{s} (≈ 2{,}03 minutos).
  1. Exemplo de tempo para atingir 30^\circ\mathrm{C} (como ilustração de uso da fórmula):
  • T_{\text{alvo}}=30^\circ\mathrm{C}. Então a fração remanescente é
\frac{T_{\text{alvo}}-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{30-20}{100-20}=\frac{10}{80}=0{,}125.
Logo
t=-\tau\ln(0{,}125)=121{,}5\cdot\ln(8)\quad\text{(pois \(\ln(0{,}125)=\ln(1/8)=-\ln 8\))}.
\ln 8 \approx 2{,}07944,
t\approx 121{,}5\cdot 2{,}07944\approx 252{,}7\\ \mathrm{s}\approx 4{,}21\\ \mathrm{min}.
Interpretação: com as propriedades assumidas, a esfera chegaria a 30^\circ\mathrm{C} em cerca de 4{,}2 minutos.
Observação: se a esfera fosse de outro material com k baixo (ex.: vidro, plástico), \mathrm{Bi} poderia ser maior e o método lumped poderia falhar — por isso é crucial conhecer k,\rho,c.

Passo 5

Se \mathrm{Bi}\gtrsim0{,}1: o que fazer (visão geral sem pular etapas)
  1. É preciso resolver a equação da condução transiente no interior da esfera com condição de convecção na superfície. Em termos práticos usa-se a solução em série (método de separação de variáveis) e define-se o número adimensional de Fourier:
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{r^{2}},
onde \alpha=\dfrac{k}{\rho c} é a difusividade térmica.
  1. A solução (para condição inicial uniforme) é expressa como uma soma infinita de modos:
\theta(t)=\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\exp\!\bigl(-\zeta_n^{2}\mathrm{Fo}\bigr),
onde \zeta_n são raízes de uma equação transcendental que depende de \mathrm{Bi} (para esfera a equação característica é \zeta_n\cot\zeta_n + \mathrm{Bi}=0) e os coeficientes C_n dependem de \zeta_n. Na prática usa-se:
  • a aproximação de primeiro termo (somente n=1) para estimativas rápidas quando os termos posteriores decaem rápido;
  • tabelas ou software (por ex. livro de Incropera & DeWitt ou Matlab) para obter \zeta_1 e C_1.
  1. Esta abordagem é mais trabalhosa e costuma exigir calculadora/computador para resolver a equação transcendental e somar a série. Por isso o teste do número de Biot é tão útil: evita trabalho desnecessário quando o lumped já é válido.

Passo 6

Resumo instrucional do que você precisa fazer para resolver o problema da prova (passos práticos que você pode aplicar rapidamente):
  1. Calcule r a partir do diâmetro (já feito: r=0{,}015\\ \mathrm{m}).
  2. Pegue os valores reais das propriedades da esfera: k,\rho,c.
  3. Calcule L_c=r/3.
  4. Calcule \mathrm{Bi}=h L_c/k. Se \mathrm{Bi}<0{,}1, use o modelo lumped; se não, prepare-se para usar a solução distribuída (primeiro termo ou série).
  5. Se lumped for válido: calcule \tau=\rho c L_c/h e então T(t) com
T(t)=T_\infty + (T_i-T_\infty)\exp(-t/\tau),
ou o tempo para atingir T_{\text{alvo}} com
t=-\tau\ln\!\left(\frac{T_{\text{alvo}}-T_\infty}{T_i-T_\infty}\right).
  1. Se \mathrm{Bi}\gtrsim0{,}1: consulte tabelas para \zeta_1 e C_1, calcule \mathrm{Fo}=\alpha t/r^{2} e use a expressão em série (ou software).

Resposta

Não é possível fornecer um resultado numérico definitivo porque faltam as propriedades térmicas da esfera (condutividade térmica k, densidade \rho e calor específico c) e o enunciado não especifica qual quantidade deseja-se calcular (por ex. T(t) ou o tempo para atingir uma temperatura alvo).
(Se desejar, envie as propriedades \,k,\rho,c e diga qual resultado quer — por exemplo “tempo para atingir 50^\circ\mathrm{C}” — que eu faço a conta passo a passo e mostro todos os detalhes.)

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