Considere uma placa plana de 1 \mathrm{~m}^{2} movendo-se paralelamente a outra placa fixa, separada por uma camada de óleo com espessura de 2 mm . A velocidade da placa móvel é de 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A viscosidade dinâmica do óleo é de 0,25 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}.
a) Calcule a força viscosa exercida sobre a placa móvel.
b) Explique o conceito de fluido newtoniano e como ele se aplica ao cálculo acima.
c) Se a velocidade da placa dobrar, o que acontece com a força viscosa? Justifique com base na equação de escoamento laminar entre placas.

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
  • Área da placa móvel: A=1\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Espessura da camada de óleo (distância entre placas): d=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da placa móvel: U=0,5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Viscosidade dinâmica do óleo: \mu=0,25\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}.
Perguntas:
(a) Calcular a força viscosa exercida sobre a placa móvel.
(b) Explicar o conceito de fluido newtoniano e como ele se aplica ao cálculo acima.
(c) Se a velocidade da placa dobrar, o que acontece com a força viscosa? Justificar usando a equação de escoamento laminar entre placas.

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica — explicando passo a passo a relação que vamos usar.
Quando uma placa se move paralelamente a outra, separadas por um fluido viscoso em escoamento laminar (situação clássica de Couette simples), o fluido adquire um perfil de velocidade praticamente linear entre as placas (assumindo regime laminar e condição de não-deslizamento nas superfícies). Nessa situação a tensão de cisalhamento (ou esforço cortante) no fluido é dada pela lei de Newton da viscosidade:
\tau = \mu \,\frac{du}{dy}.
Aqui:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (unidade: \mathrm{Pa} = \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (fornecida),
  • u(y) é a componente da velocidade na direção da placa, função da coordenada perpendicular y,
  • \dfrac{du}{dy} é a taxa de variação da velocidade com a distância (a chamada taxa de deformação ou gradiente de velocidade).
Explicação didática: a lei diz que a força por unidade de área que o fluido exerce sobre a placa (tensão) é proporcional à rapidez com que a velocidade varia no espaço perpendicular — quanto maior o gradiente de velocidade, maior o cisalhamento. Para fluidos newtonianos a constante de proporcionalidade é justamente \mu, que independe da taxa de deformação.

Passo 3

Perfil de velocidade e cálculo do gradiente \dfrac{du}{dy}.
Pelo não-deslizamento, a velocidade junto à placa fixa é zero e junto à placa móvel é U. Para escoamento entre placas paralelas e distantes d, o perfil é linear:
u(y)=\frac{U}{d}\,y,\qquad 0\le y\le d.
Então o gradiente de velocidade é constante e vale
\frac{du}{dy}=\frac{U}{d}.
Substituindo na lei da viscosidade:
\tau=\mu\,\frac{U}{d}.

Passo 4

Cálculo numérico da tensão de cisalhamento \tau.
Usando os valores dados:
\mu=0,25\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s},\qquad U=0,5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1},\qquad d=0,002\\ \mathrm{m}.
Calculemos \dfrac{U}{d}:
\frac{U}{d}=\frac{0,5}{0,002}=250\\ \mathrm{s}^{-1}.
Agora \tau:
\tau=\mu\frac{U}{d}=0,25\times 250=62,5\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação de unidade: 62,5\\ \mathrm{Pa} equivale a 62,5\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2}.

Passo 5

Cálculo da força viscosa total sobre a placa móvel.
A força viscosa é a tensão vezes a área:
F=\tau\,A.
Com A=1\\ \mathrm{m}^{2} e \tau=62,5\\ \mathrm{Pa}:
F=62,5\times 1=62,5\\ \mathrm{N}.
Portanto a força viscosa sobre a placa móvel é 62,5\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Explicação didática sobre fluido newtoniano e aplicação ao problema (resposta detalhada para o item b).
Definição simples: um fluido é dito newtoniano quando a tensão de cisalhamento \tau é diretamente proporcional à taxa de deformação \dfrac{du}{dy}, com a constante de proporcionalidade sendo a viscosidade dinâmica \mu, que não depende da taxa de deformação. Em fórmula:
\tau=\mu\,\frac{du}{dy},
com \mu constante para o fluido nas condições dadas.
Como isso se aplica ao nosso cálculo:
  • Admitimos que o óleo é newtoniano (o enunciado fornece uma única viscosidade \mu e não diz que varia com velocidade), portanto podemos usar a relação linear acima.
  • Essa linearidade garantiu que o perfil de velocidade entre as placas é linear (no regime laminar) e que \tau é proporcional a U. Por isso calculamos \tau simplesmente como \mu U/d e a força como \tau A.
    Exemplos de contraste: para um fluido não newtoniano (por exemplo, pseudoplástico), a relação entre \tau e \dfrac{du}{dy} não é linear e a “viscosidade aparente” varia com a taxa de deformação — aí o cálculo seria diferente.

Passo 7

O que acontece se a velocidade da placa dobrar (item c) — argumento e cálculo.
Da fórmula já vista:
\tau=\mu\frac{U}{d},\qquad F=\tau A=\mu\frac{U}{d}A.
Percebe-se que \tau e, consequentemente, F são diretamente proporcionais a U. Se a velocidade U dobra (passa de 0,5 para 1,0\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}), então \tau dobra e F também dobra.
Cálculo numérico rápido:
  • Nova velocidade U_{\text{novo}}=1,0\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Nova força F_{\text{novo}}=2\times 62,5=125\\ \mathrm{N}.
Justificativa física: em escoamento laminar entre placas com fluido newtoniano a taxa de deformação é \dfrac{U}{d}; mudar U muda essa taxa proporcionalmente, e a tensão é \mu vezes essa taxa — portanto a relação é linear.

Resposta

(a) 62,5\\ \mathrm{N}
(b) Fluido newtoniano: é aquele em que a tensão de cisalhamento \tau é proporcional ao gradiente de velocidade \dfrac{du}{dy} com proporcionalidade \mu constante; aplicou-se aqui usando \tau=\mu\dfrac{U}{d} e perfil linear entre placas.
(c) A força dobra; nova força 125\\ \mathrm{N}.

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