Considere uma placa plana de
movendo-se paralelamente a outra placa fixa, separada por uma camada de óleo com espessura de 2 mm . A velocidade da placa móvel é de
. A viscosidade dinâmica do óleo é de
.
a) Calcule a força viscosa exercida sobre a placa móvel.
b) Explique o conceito de fluido newtoniano e como ele se aplica ao cálculo acima.
c) Se a velocidade da placa dobrar, o que acontece com a força viscosa? Justifique com base na equação de escoamento laminar entre placas.
a) Calcule a força viscosa exercida sobre a placa móvel.
b) Explique o conceito de fluido newtoniano e como ele se aplica ao cálculo acima.
c) Se a velocidade da placa dobrar, o que acontece com a força viscosa? Justifique com base na equação de escoamento laminar entre placas.
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
- Área da placa móvel:
. - Espessura da camada de óleo (distância entre placas):
. - Velocidade da placa móvel:
. - Viscosidade dinâmica do óleo:
.
Perguntas:
(a) Calcular a força viscosa exercida sobre a placa móvel.
(b) Explicar o conceito de fluido newtoniano e como ele se aplica ao cálculo acima.
(c) Se a velocidade da placa dobrar, o que acontece com a força viscosa? Justificar usando a equação de escoamento laminar entre placas.
(a) Calcular a força viscosa exercida sobre a placa móvel.
(b) Explicar o conceito de fluido newtoniano e como ele se aplica ao cálculo acima.
(c) Se a velocidade da placa dobrar, o que acontece com a força viscosa? Justificar usando a equação de escoamento laminar entre placas.
Passo 2
Modelo físico e fórmula básica — explicando passo a passo a relação que vamos usar.
Quando uma placa se move paralelamente a outra, separadas por um fluido viscoso em escoamento laminar (situação clássica de Couette simples), o fluido adquire um perfil de velocidade praticamente linear entre as placas (assumindo regime laminar e condição de não-deslizamento nas superfícies). Nessa situação a tensão de cisalhamento (ou esforço cortante) no fluido é dada pela lei de Newton da viscosidade:
Aqui:
-
é a tensão de cisalhamento (unidade: ), -
é a viscosidade dinâmica (fornecida), -
é a componente da velocidade na direção da placa, função da coordenada perpendicular , -
é a taxa de variação da velocidade com a distância (a chamada taxa de deformação ou gradiente de velocidade).
Explicação didática: a lei diz que a força por unidade de área que o fluido exerce sobre a placa (tensão) é proporcional à rapidez com que a velocidade varia no espaço perpendicular — quanto maior o gradiente de velocidade, maior o cisalhamento. Para fluidos newtonianos a constante de proporcionalidade é justamente
, que independe da taxa de deformação.
Passo 3
Perfil de velocidade e cálculo do gradiente
.
Pelo não-deslizamento, a velocidade junto à placa fixa é zero e junto à placa móvel é
. Para escoamento entre placas paralelas e distantes
, o perfil é linear:
Então o gradiente de velocidade é constante e vale
Substituindo na lei da viscosidade:
Passo 4
Cálculo numérico da tensão de cisalhamento
.
Usando os valores dados:
Calculemos
:
Agora
:
Interpretação de unidade:
equivale a
.
Passo 5
Cálculo da força viscosa total sobre a placa móvel.
A força viscosa é a tensão vezes a área:
Com
e
:
Portanto a força viscosa sobre a placa móvel é
.
Passo 6
Explicação didática sobre fluido newtoniano e aplicação ao problema (resposta detalhada para o item b).
Definição simples: um fluido é dito newtoniano quando a tensão de cisalhamento
é diretamente proporcional à taxa de deformação
, com a constante de proporcionalidade sendo a viscosidade dinâmica
, que não depende da taxa de deformação. Em fórmula:
com
constante para o fluido nas condições dadas.
Como isso se aplica ao nosso cálculo:
- Admitimos que o óleo é newtoniano (o enunciado fornece uma única viscosidade
e não diz que varia com velocidade), portanto podemos usar a relação linear acima. - Essa linearidade garantiu que o perfil de velocidade entre as placas é linear (no regime laminar) e que
é proporcional a . Por isso calculamos simplesmente como e a força como .
Exemplos de contraste: para um fluido não newtoniano (por exemplo, pseudoplástico), a relação entree não é linear e a “viscosidade aparente” varia com a taxa de deformação — aí o cálculo seria diferente.
Passo 7
O que acontece se a velocidade da placa dobrar (item c) — argumento e cálculo.
Da fórmula já vista:
Percebe-se que
e, consequentemente,
são diretamente proporcionais a
. Se a velocidade
dobra (passa de
para
), então
dobra e
também dobra.
Cálculo numérico rápido:
- Nova velocidade
. - Nova força
.
Justificativa física: em escoamento laminar entre placas com fluido newtoniano a taxa de deformação é
; mudar
muda essa taxa proporcionalmente, e a tensão é
vezes essa taxa — portanto a relação é linear.
Resposta
(a)
(b) Fluido newtoniano: é aquele em que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade
com proporcionalidade
constante; aplicou-se aqui usando
e perfil linear entre placas.
(c) A força dobra; nova força .
(b) Fluido newtoniano: é aquele em que a tensão de cisalhamento
(c) A força dobra; nova força