Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de
. No instante
ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de
. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a
. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a
.
Obs. Utilizar a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, ou seja,
Obs. Utilizar a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente com temperatura constante. A gente tem uma esfera de cobre aquecida a
e, ao colocá-la na água a
, a temperatura dela vai diminuindo. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a temperatura da esfera chegar a
. Para resolver isso, vamos usar a equação da Lei do Resfriamento de Newton:
Onde:
-
é a temperatura da esfera no tempo . -
é a temperatura da água (ambiente), que é . -
é a constante de resfriamento que a gente precisa encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial da Lei do Resfriamento de Newton. A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis. Vamos rearranjar a equação:
Agora, integramos os dois lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever essa equação para resolver
:
Vamos chamar
de
:
Passo 3
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
. Sabemos que no tempo
, a temperatura da esfera é
. Substituindo esses valores na equação:
Portanto,
. A equação fica então:
Passo 4
Agora, usamos a informação de que após 3 minutos, a temperatura da esfera é
. Substituímos esses valores para encontrar
:
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o tempo
quando a temperatura da esfera for
. Usamos a equação geral:
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos calcular numericamente os valores:
Substituindo na equação do
:
Resposta
O instante em que a temperatura da esfera se reduz a
é aproximadamente 22,8 minutos após a imersão na água.