Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100^circ C. No instante t=0 ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30^circ C. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 70^circ C. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31^circ C.
Obs. Utilizar a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, ou seja,
d Td t=k(T-Tm)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente com temperatura constante. A gente tem uma esfera de cobre aquecida a 100^circ C e, ao colocá-la na água a 30^circ C, a temperatura dela vai diminuindo. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a temperatura da esfera chegar a 31^circ C. Para resolver isso, vamos usar a equação da Lei do Resfriamento de Newton:
d Td t=k(T-Tm)
Onde:
  • T é a temperatura da esfera no tempo t .
  • Tm é a temperatura da água (ambiente), que é 30^circ C.
  • k é a constante de resfriamento que a gente precisa encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial da Lei do Resfriamento de Newton. A equação que temos é:
d Td t = k (T - Tm)
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis. Vamos rearranjar a equação:
d TT - Tm = k , dt
Agora, integramos os dois lados:
integral 1T - Tm dT = integral k , dt
Isso resulta em:
ln |T - Tm| = kt + C
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever essa equação para resolver T :
T - Tm = e^kt + C = e^C e^kt
Vamos chamar e^C de C' :
T = Tm + C' e^kt

Passo 3

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar C' . Sabemos que no tempo t = 0 , a temperatura da esfera é T(0) = 100^circ C . Substituindo esses valores na equação:
100 = 30 + C' e^k cdot 0 implies 100 = 30 + C'
Portanto, C' = 70 . A equação fica então:
T(t) = 30 + 70 e^kt

Passo 4

Agora, usamos a informação de que após 3 minutos, a temperatura da esfera é 70^circ C . Substituímos esses valores para encontrar k :
70 = 30 + 70 e^3k implies 40 = 70 e^3k implies e^3k = 4070 = 47
Para resolver para k , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
3k = ln(47) implies k = 13 ln(47)

Passo 5

Agora, queremos encontrar o tempo t quando a temperatura da esfera for 31^circ C . Usamos a equação geral:
31 = 30 + 70 e^kt implies 1 = 70 e^kt implies e^kt = 170
Aplicando o logaritmo natural:
kt = ln(170) = -ln(70)
Substituindo k :
13 ln(47) cdot t = -ln(70) implies t = -3 ln(70)ln(47)

Passo 6

Vamos calcular numericamente os valores:
ln(70) approx 4,2485
ln(47) = ln(4) - ln(7) approx 1,3863 - 1,9459 = -0,5596
Substituindo na equação do t :
t = -3 times 4,2485-0,5596 approx 12,74550,5596 approx 22,78 minutos

Resposta

O instante em que a temperatura da esfera se reduz a 31^circ C é aproximadamente 22,8 minutos após a imersão na água.

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