Mostre que a seguinte equação diferencial é homogênea e encontre sua solução
Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação diferencial para resolver e precisa mostrar que ela é homogênea antes de encontrar a solução. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente Equações Diferenciais Homogêneas. Vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for, usar substituições apropriadas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação na forma
é homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se a gente multiplicar
e
por um fator
, as funções
e
também serão multiplicadas por
, onde
é o grau da homogeneidade.
No nosso caso, a equação é:
Vamos verificar a homogeneidade das funções no numerador e denominador.
Passo 3
Vamos testar a função do numerador
. Se multiplicarmos
e
por
:
Então,
é homogênea de grau 1.
Passo 4
Agora, vamos testar a função do denominador
:
Então,
também é homogênea de grau 1.
Passo 5
Como tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos de mesmo grau (grau 1), a equação diferencial é homogênea. Agora, para resolver, vamos usar a substituição
, que simplifica a equação.
Passo 6
Com
, podemos expressar
como
. Agora, vamos encontrar
usando a regra do produto:
Passo 7
Substituindo
e
na equação original:
Perceba que os
cancelam.
Passo 8
Agora temos a equação:
Vamos isolar
:
Simplificando o lado direito:
Passo 9
Então, a equação fica:
Vamos rearranjar para separar as variáveis:
Passo 10
Agora, vamos integrar ambos os lados. Antes, vamos fatorar o denominador da fração da esquerda:
Então, a integral fica:
Passo 11
Vamos simplificar a fração à esquerda:
Então, a integral fica:
Passo 12
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 13
Vamos resolver para
:
Podemos escrever isso como:
Onde
.
Então:
Passo 14
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Ou, rearranjando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.