Mostre que a seguinte equação diferencial é homogênea e encontre sua solução
d yd x=4 y-3 x2 x-y

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação diferencial para resolver e precisa mostrar que ela é homogênea antes de encontrar a solução. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente Equações Diferenciais Homogêneas. Vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for, usar substituições apropriadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação na forma dydx = f(x, y)g(x, y) é homogênea se as funções f(x, y) e g(x, y) forem homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se a gente multiplicar x e y por um fator t, as funções f e g também serão multiplicadas por t^n, onde n é o grau da homogeneidade.
No nosso caso, a equação é:
dydx = 4y - 3x2x - y
Vamos verificar a homogeneidade das funções no numerador e denominador.

Passo 3

Vamos testar a função do numerador f(x, y) = 4y - 3x. Se multiplicarmos x e y por t:
f(tx, ty) = 4(ty) - 3(tx) = t(4y) - t(3x) = t(4y - 3x) = t f(x, y)
Então, f(x, y) é homogênea de grau 1.

Passo 4

Agora, vamos testar a função do denominador g(x, y) = 2x - y:
g(tx, ty) = 2(tx) - ty = t(2x) - t(y) = t(2x - y) = t g(x, y)
Então, g(x, y) também é homogênea de grau 1.

Passo 5

Como tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos de mesmo grau (grau 1), a equação diferencial é homogênea. Agora, para resolver, vamos usar a substituição v = yx, que simplifica a equação.

Passo 6

Com v = yx, podemos expressar y como y = v x. Agora, vamos encontrar dydx usando a regra do produto:
dydx = v + x dvdx

Passo 7

Substituindo y = v x e dydx = v + x dvdx na equação original:
v + x dvdx = 4(v x) - 3x2x - v x = (4v - 3)x(2 - v)x = 4v - 32 - v
Perceba que os x cancelam.

Passo 8

Agora temos a equação:
v + x dvdx = 4v - 32 - v
Vamos isolar dvdx:
x dvdx = 4v - 32 - v - v
Simplificando o lado direito:
4v - 32 - v - v = 4v - 3 - v(2 - v)2 - v = 4v - 3 - 2v + v^22 - v = 2v - 3 + v^22 - v

Passo 9

Então, a equação fica:
x dvdx = v^2 + 2v - 32 - v
Vamos rearranjar para separar as variáveis:
2 - vv^2 + 2v - 3 dv = dxx

Passo 10

Agora, vamos integrar ambos os lados. Antes, vamos fatorar o denominador da fração da esquerda:
v^2 + 2v - 3 = (v + 3)(v - 1)
Então, a integral fica:
integral 2 - v(v + 3)(v - 1) dv = integral 1x dx

Passo 11

Vamos simplificar a fração à esquerda:
2 - v(v + 3)(v - 1) = -(v - 2)(v + 3)(v - 1) = -1v + 3
Então, a integral fica:
integral -1v + 3 dv = integral 1x dx

Passo 12

Integrando ambos os lados:
- ln|v + 3| = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 13

Vamos resolver para v:
ln|v + 3| = -ln|x| + C
Podemos escrever isso como:
ln|v + 3| = ln(Ax)
Onde A = e^C.
Então:
v + 3 = Ax

Passo 14

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
yx + 3 = Ax
Multiplicando ambos os lados por x:
y + 3x = A
Ou, rearranjando:
y = A - 3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = A - 3x, onde A é uma constante arbitrária.

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