(a) Resolva a equação diferencial y^prime=x^3 y^2. Faça um esboço da família das soluções.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = x^3y^2,
que é do tipo “variáveis separáveis”. Isso significa que podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro antes de integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo por y^2 e multiplicando por dx:
dyy^2 = x^3,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral x^3,dx
O lado esquerdo dá
integral y^-2,dy = -,1y,
e o lado direito dá
integral x^3,dx = x^44 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados, temos
-,1y = x^44 + C
Multiplicando por -1 e invertendo, definimos C'=-4C para simplificar e obtemos
1y = -x^44 - C = C' - x^44 Longrightarrow y = 4,C' - x^4,
Renomeando C' simplesmente como C, a solução geral é
y(x) = 4,C - x^4,

Passo 5

Além dessa família, existe a solução trivial y(x)=0, pois se yequiv0 então y'=0 satisfaz y'=x^3y^2.

Passo 6

Para esboçar a família de curvas y=4C - x^4:
  • Cada constante C gera uma curva com assíntotas verticais onde C - x^4=0, ou seja, em x=pm C^1/4.
  • Para |x| pequeno, yapprox 4/C (assíntota horizontal em y=0 quando Ctoinfty).
  • Para |x| grande, yapprox -4/x^4to0^-.
  • O sinal de y muda conforme o sinal de C - x^4.
Portanto, a família tem ramos positivos para x^4<C (se C>0) e ramos negativos para x^4>C, com comportamentos assintóticos descritos acima.

Resposta

A solução geral é
y(x) = 4C - x^4,
mais a solução trivial
y(x)=0
O esboço mostra curvas com assíntotas verticais em x=pm C^1/4 e assíntota horizontal em y=0.

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