(a) Resolva a equação diferencial
. Faça um esboço da família das soluções.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
que é do tipo “variáveis separáveis”. Isso significa que podemos escrever todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro antes de integrar.
Passo 2
Separamos as variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
O lado esquerdo dá
e o lado direito dá
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Igualando os resultados, temos
Multiplicando por
e invertendo, definimos
para simplificar e obtemos
Renomeando
simplesmente como
, a solução geral é
Passo 5
Além dessa família, existe a solução trivial
, pois se
então
satisfaz
.
Passo 6
Para esboçar a família de curvas
:
- Cada constante
gera uma curva com assíntotas verticais onde , ou seja, em . - Para
pequeno, (assíntota horizontal em quando ). - Para
grande, . - O sinal de
muda conforme o sinal de .
Portanto, a família tem ramos positivos para
(se
) e ramos negativos para
, com comportamentos assintóticos descritos acima.
Resposta
A solução geral é
mais a solução trivial
O esboço mostra curvas com assíntotas verticais em
e assíntota horizontal em
.