Resolva a seguinte equação diferenciail linear de
ordem sujeita à condição inicial indicada
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de 1ª ordem que é do tipo linear. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação numa forma que seja mais fácil de integrar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos na nossa equação. Ela está na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos integrar
. Usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Temos:
Passo 8
Voltando à nossa equação:
Distribuindo o 2:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: