Resolva a seguinte equação diferenciail linear de 1^r a ordem sujeita à condição inicial indicada
y^prime-y=2 x e^2 x, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de 1ª ordem que é do tipo linear. A equação que temos é:
y' - y = 2x e^2x, y(0) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação numa forma que seja mais fácil de integrar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos na nossa equação. Ela está na forma padrão:
y' + P(x)y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
y' - y = 2x e^2x
Vemos que P(x) = -1 e Q(x) = 2x e^2x .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = -1 :
mu(x) = e^integral -1 dx = e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-x y' - e^-x y = 2x e^2x e^-x
Simplificando o lado direito:
e^-x y' - e^-x y = 2x e^x

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y . Ou seja:
ddx (e^-x y) = 2x e^x

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx (e^-x y) dx = integral 2x e^x dx
Isso simplifica para:
e^-x y = 2 integral x e^x dx

Passo 7

Agora, vamos integrar integral x e^x dx . Usamos integração por partes, onde:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Temos:
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C

Passo 8

Voltando à nossa equação:
e^-x y = 2(x e^x - e^x) + C
Distribuindo o 2:
e^-x y = 2x e^x - 2e^x + C

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por e^x para isolar y :
y = e^x (2x e^x - 2e^x + C) = 2x e^2x - 2e^2x + C e^x

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 :
1 = 2(0) e^0 - 2e^0 + C e^0 Rightarrow 1 = 0 - 2 + C Rightarrow C = 3

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 2x e^2x - 2e^2x + 3 e^x

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