Uma esfera de cobre \mathrm{Cu}\left(\rho=8,9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right) pesa 8,6 \mathrm{~N}. Mergulhada na água, seu peso efetivo (ou aparente) é de 7,1 N. Sendo assim:
a) Demonstre que a esfera é oca.
b) Calcule o seu volume maciço e oco.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Densidade do cobre: \rho_{\mathrm{Cu}}=8{,}9\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Peso da esfera no ar: W_{\text{ar}}=8{,}6\\ \mathrm{N}.
  • Peso aparente da esfera na água: W_{\text{água}}=7{,}1\\ \mathrm{N}á.
O enunciado pede:
a) Mostrar se a esfera é oca ou maciça.
b) Calcular o volume do metal (volume maciço, isto é, volume ocupado pelo cobre) e o volume vazio (volume oco).
Observações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
  • Converterei \rho_{\mathrm{Cu}} para \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Peso real W_{\text{ar}}=m g, onde m é a massa do cobre e g a aceleração da gravidade (usarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Empuxo (força de Arquimedes) vale E=\rho_{\text{água}}\,g\,V_{\text{ext}}á, com \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e V_{\text{ext}} o volume externo deslocado pela esfera.
  • Peso aparente na água satisfaz W_{\text{água}}=W_{\text{ar}}-Eá.

Passo 2

Primeiro converto a densidade do cobre para unidades SI (quilograma por metro cúbico). Como 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, temos
\rho_{\mathrm{Cu}}=8{,}9\\ \mathrm{g/cm^{3}}=8{,}9\times1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}=8900\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Explicação curta do porquê: densidade em SI facilita usar W=mg e a fórmula do empuxo, que usam \mathrm{kg}, \mathrm{m} e \mathrm{s}.

Passo 3

Calculo o empuxo experimental usando a diferença entre o peso no ar e o peso aparente na água:
E = W_{\text{ar}}-W_{\text{água}} = 8{,}6 - 7{,}1 = 1{,}5\\ \mathrm{N}.á
Interpretação: o empuxo medido é 1{,}5\\ \mathrm{N}. Pelo princípio de Arquimedes, isso é igual ao peso do volume de água deslocado pela esfera.

Passo 4

Uso a fórmula do empuxo para achar o volume externo (volume total deslocado) \,V_{\text{ext}}\,:
E = \rho_{\text{água}}\,g\,V_{\text{ext}} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{ext}}=\frac{E}{\rho_{\text{água}}\,g}.áá
Substituindo E=1{,}5\\ \mathrm{N}, \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},
V_{\text{ext}}=\frac{1{,}5}{1000\cdot9{,}8}=\frac{1{,}5}{9800}=0{,}000153061\ldots\\ \mathrm{m^{3}}.
Arredondando com 3 algarismos significativos,
V_{\text{ext}}\approx 1{,}53\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
Breve explicação: esse é o volume total da esfera (externo) que desloca água — inclui o material de cobre mais qualquer cavidade interna.

Passo 5

Agora obtenho o volume do cobre maciço (volume ocupado efetivamente pelo metal), usando que o peso no ar é W_{\text{ar}}=m g e m=\rho_{\mathrm{Cu}} V_{\text{mat}}. Assim
W_{\text{ar}}=\rho_{\mathrm{Cu}}\,V_{\text{mat}}\,g \quad\Rightarrow\quad V_{\text{mat}}=\frac{W_{\text{ar}}}{\rho_{\mathrm{Cu}}\,g}.
Substituindo W_{\text{ar}}=8{,}6\\ \mathrm{N}, \rho_{\mathrm{Cu}}=8900\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},
V_{\text{mat}}=\frac{8{,}6}{8900\cdot9{,}8}=\frac{8{,}6}{87220}\approx0{,}00009865\\ \mathrm{m^{3}}.
Arredondando,
V_{\text{mat}}\approx 9{,}87\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
Explicação: esse é o volume “maciço” (ou seja, o volume de cobre que efetivamente existe na esfera), calculado a partir da massa (peso no ar) e da densidade do cobre.

Passo 6

Calculo o volume da cavidade interna (volume oco) como diferença entre o volume externo e o volume do metal:
V_{\text{oco}}=V_{\text{ext}}-V_{\text{mat}}.
Substituindo os valores numéricos:
V_{\text{oco}} \approx 1{,}53\times10^{-4} - 9{,}87\times10^{-5} = 5{,}44\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
Interpretação: o resultado é positivo, o que significa que existe realmente uma cavidade interna — logo a esfera é oca.

Passo 7

Para ficar mais intuitivo, converto os volumes para centímetros cúbicos (já que 1\\ \mathrm{m^{3}}=10^{6}\\ \mathrm{cm^{3}}):
V_{\text{mat}}\approx 9{,}87\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}} = 98{,}7\\ \mathrm{cm^{3}},
V_{\text{ext}}\approx 1{,}53\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}} = 153\\ \mathrm{cm^{3}},
V_{\text{oco}}\approx 5{,}44\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}} = 54{,}4\\ \mathrm{cm^{3}}.
Comentário final de interpretação: como o volume oco é diferente de zero e positivo, concluímos que a esfera não é maciça — ela tem uma cavidade cujo volume foi calculado acima.

Resposta

a) A esfera é oca.
b) V_{\text{mat}}\approx 9{,}87\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}\\ (98{,}7\\ \mathrm{cm^{3}})
V_{\text{ext}}\approx 1{,}53\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}\\ (153\\ \mathrm{cm^{3}})
V_{\text{oco}}\approx 5{,}44\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}\\ (54{,}4\\ \mathrm{cm^{3}})

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