Na região abdominal, a pressão média necessária para perfurar a pele (epiderme) humana é em torno de 2,0 \cdot 10^{7} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}.
Calcular a força necessária para aplicar uma injeção, cuja ponta da agulha tem diâmetro de \varphi=1,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a força necessária para perfurar a pele aplicando uma injeção cuja ponta da agulha tem diâmetro \varphi.
Dados fornecidos:
  • Pressão média necessária para perfurar a pele: p = 2,0\cdot10^{7}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Diâmetro da ponta da agulha (peguei esse valor da imagem): \varphi = 1,0\\ \mathrm{cm}.
O que devemos encontrar: a força F aplicada na ponta da agulha que gera a pressão p sobre a área da ponta.

Passo 2

Fórmula básica que relaciona pressão, força e área:
p=\frac{F}{A},
onde
  • p é a pressão (unidade \mathrm{N/m^{2}}),
  • F é a força normal sobre a superfície (unidade \mathrm{N}),
  • A é a área da superfície sobre a qual a força é distribuída (unidade \mathrm{m^{2}}).
Despejando para F:
F = p\cdot A.
Então precisamos calcular a área A da ponta da agulha (assumindo que é circular) e depois multiplicar por p.

Passo 3

Área de um círculo e conversão de unidades:
A área de um círculo é dada por
A=\pi r^{2},
onde r é o raio. O raio é metade do diâmetro:
r=\frac{\varphi}{2}.
Converter \varphi de centímetros para metros:
\varphi = 1,0\\ \mathrm{cm}=0,010\\ \mathrm{m}.
Portanto
r=\frac{0,010\\ \mathrm{m}}{2}=0,005\\ \mathrm{m}.
Calcular r^{2}:
r^{2}=(0,005\\ \mathrm{m})^{2}=0,000025\\ \mathrm{m^{2}}=2,5\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a área:
A=\pi\cdot r^{2}=\pi\cdot 2,5\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 7,8539816\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a força usando F=p\cdot A:
F = \left(2,0\cdot10^{7}\right)\cdot\left(7,8539816\cdot10^{-5}\right)\\ \mathrm{N}.
Fazendo as contas (juntando potências de 10):
F \approx 1,57079632\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}\approx 1{,}57\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}.
Em unidades mais usuais isso é aproximadamente 1{,}6\\ \mathrm{kN}.
Comentário prático rápido (motivacional): o valor ficou grande porque foi usada \varphi=1{,}0\\ \mathrm{cm} — uma ponta de agulha real é muito mais fina (milímetros ou submilímetros), então a força necessária na prática seria muito menor. Mas com os dados do enunciado esse é o resultado correto.

Resposta

F \approx 1{,}57\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}

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