Um pedaço de madeira ( \rho_{\mathrm{M}}=0,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) flutua em um líquido ( \rho=1,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ). O volume total da madeira é 36 \mathrm{~cm}^{3}, calcule:
a) a massa da madeira;
b) a massa do liquido deslocado.
c) O volume da madeira que aparece acima da superfície do liquido.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pergunta três coisas. Dados (peguei todos do enunciado):
  • Densidade da madeira: \rho_{\mathrm{M}}=0{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Densidade do líquido: \rho=1{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Volume total da madeira: V_{\mathrm{tot}}=36\\ \mathrm{cm^{3}}.
O que o enunciado pede:
a) Calcular a massa da madeira.
b) Calcular a massa do líquido deslocado pela madeira quando ela flutua.
c) Calcular o volume da madeira que fica acima da superfície do líquido (ou seja, o volume não submerso).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula rápida e simples).
  • Densidade: a densidade \rho relaciona massa m e volume V pela fórmula
\rho=\frac{m}{V}.
Nessa fórmula \rho é a densidade (por exemplo \mathrm{g/cm^{3}}), m é a massa (em \mathrm{g}) e V é o volume (em \mathrm{cm^{3}}). Rearranjando para achar a massa:
m=\rho \, V.
Isto significa: para encontrar a massa de um corpo, multiplica-se sua densidade pelo seu volume.

Passo 3

Aplicando a fórmula para achar a massa da madeira (item a).
Usamos \rho_{\mathrm{M}}=0{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}} e V_{\mathrm{tot}}=36\\ \mathrm{cm^{3}}. Então
m_{\mathrm{M}}=\rho_{\mathrm{M}}\,V_{\mathrm{tot}}=0{,}6\cdot36.
Fazendo a conta passo a passo: 0{,}6\cdot36=0{,}6\cdot(30+6)=0{,}6\cdot30+0{,}6\cdot6=18+3{,}6=21{,}6.
Portanto
m_{\mathrm{M}}=21{,}6\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Princípio de Arquimedes e relação entre massa deslocada e massa do objeto (mini-aula).
  • O princípio de Arquimedes diz que o empuxo (força ascendente sobre um corpo imerso) é igual ao peso do fluido deslocado. Em equações:
E = m_{\text{despl}}\,g,
onde E é o empuxo, m_{\text{despl}} é a massa do líquido deslocado e g é a aceleração da gravidade.
  • Para um corpo flutuando em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso do corpo:
E = m_{\mathrm{M}}\,g.
Igualando as duas expressões e cancelando g,
m_{\text{despl}}=m_{\mathrm{M}}.
Ou seja: quando a madeira flutua sem afundar, a massa do líquido que fica abaixo da superfície (o líquido deslocado) é numericamente igual à massa da madeira.

Passo 5

Aplicando o resultado do Passo 4 para o item (b).
Já calculamos m_{\mathrm{M}}=21{,}6\\ \mathrm{g}, logo
m_{\text{líquido deslocado}}=21{,}6\\ \mathrm{g}.í

Passo 6

Calcular o volume submerso e o volume acima da superfície (item c).
  • A massa do líquido deslocado pode ser também escrita como
m_{\text{despl}}=\rho\\ V_{\text{sub}},
onde \rho é a densidade do líquido e V_{\text{sub}} é o volume da madeira submerso (isto é, o volume do líquido deslocado). Rearranjando:
V_{\text{sub}}=\frac{m_{\text{despl}}}{\rho}.
Substituindo m_{\text{despl}}=21{,}6\\ \mathrm{g} e \rho=1{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}},
V_{\text{sub}}=\frac{21{,}6}{1{,}2}.
Fazendo a divisão: 21{,}6\div1{,}2=18. Portanto
V_{\text{sub}}=18\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • O volume da madeira que aparece acima da superfície (volume não submerso) é
V_{\text{acima}}=V_{\mathrm{tot}}-V_{\text{sub}}=36-18=18\\ \mathrm{cm^{3}}.
Observação intuitiva: como a densidade do líquido é o dobro da densidade da madeira ( 1{,}2 vs 0{,}6), metade do volume da madeira fica submersa e metade fica fora — daí 18\\ \mathrm{cm^{3}} e 18\\ \mathrm{cm^{3}}.

Resposta

a) m_{\mathrm{madeira}}=21{,}6\\ \mathrm{g}
b) m_{\mathrm{líquido\\ deslocado}}=21{,}6\\ \mathrm{g}í
c) V_{\text{acima}}=18\\ \mathrm{cm^{3}}

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