Uma esfera de cobre possui densidade superficial de carga igual a
. Calcule o módulo do campo elétrico: (a) no interior, (b) na superfície e © nos pontos externos da esfera.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma esfera de cobre com densidade superficial de carga igual a
. Precisamos calcular o módulo do campo elétrico em três situações diferentes: (a) no interior da esfera, (b) na superfície da esfera e © em pontos externos à esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico no interior da esfera (a). Sabemos que o cobre é um condutor e, em equilíbrio eletrostático, as cargas se distribuem na superfície. No interior de um condutor em equilíbrio, o campo elétrico é zero porque as cargas se rearranjam de forma a neutralizar qualquer campo interno.
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico na superfície da esfera (b). Para isso, usamos a Lei de Gauss. Consideramos uma superfície gaussiana que coincide com a superfície da esfera. A densidade superficial de carga é
, e a área da esfera é
, onde
é o raio da esfera. A carga total
na esfera é então
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico
na superfície da esfera é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo. Esse é o campo elétrico na superfície da esfera.
Passo 5
Por fim, vamos calcular o campo elétrico em pontos externos à esfera ©. Para pontos fora da esfera, o campo elétrico é equivalente ao campo criado por uma carga pontual
localizada no centro da esfera. Usando novamente a Lei de Gauss, temos:
Substituindo
, obtemos:
onde
é a distância do ponto externo ao centro da esfera.
Resposta
(a) No interior da esfera, o campo elétrico é
.
(b) Na superfície da esfera, o campo elétrico é
.
© Em pontos externos à esfera, o campo elétrico é
.