Uma esfera condutora deve ser carregada colocando sobre ela em cada instante uma pequena quantidade de carga até que a carga total seja igual a
. Afirma-se que o trabalho total realizado nesse processo é proporcional a
. Isso é correto? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para calcular o trabalho total necessário para carregar uma esfera metálica de raio
levando-a de carga zero até carga
em incrementos de carga infinitesimais. O conteúdo envolvido é a relação entre potencial elétrico de uma carga distribuída num condutor e o trabalho para trazer carga de infinito até esse potencial, o que exige usar a definição de trabalho diferencial e depois integrar.
Passo 2
Quando a esfera já tem carga
, todo esse
está na superfície e cria um potencial uniforme em toda a esfera dado por
Passo 3
Para trazer uma pequena quantidade de carga
do infinito (onde o potencial é zero) até a esfera carregada com
, o trabalho diferencial é
Passo 4
O trabalho total
é a soma (integral) desses incrementos desde
até
:
Passo 5
Como o resultado final é
vemos que
é de fato proporcional a
, porque o potencial cresce linearmente com
e a integral de
gera um termo em
.
Resposta
Sim. O trabalho total para carregar a esfera é
portanto é proporcional a
.