Uma esfera condutora deve ser carregada colocando sobre ela em cada instante uma pequena quantidade de carga até que a carga total seja igual a Q. Afirma-se que o trabalho total realizado nesse processo é proporcional a Q^2. Isso é correto? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho total necessário para carregar uma esfera metálica de raio R levando-a de carga zero até carga Q em incrementos de carga infinitesimais. O conteúdo envolvido é a relação entre potencial elétrico de uma carga distribuída num condutor e o trabalho para trazer carga de infinito até esse potencial, o que exige usar a definição de trabalho diferencial e depois integrar.

Passo 2

Quando a esfera já tem carga q, todo esse q está na superfície e cria um potencial uniforme em toda a esfera dado por
V(q)=q4pivarepsilon0,R,

Passo 3

Para trazer uma pequena quantidade de carga dq do infinito (onde o potencial é zero) até a esfera carregada com q, o trabalho diferencial é
dW = V(q),dq = q4pivarepsilon0,R,dq

Passo 4

O trabalho total W é a soma (integral) desses incrementos desde q=0 até q=Q:
W = integral0^Q q4pivarepsilon0,R,dq = 14pivarepsilon0,R,integral0^Q q,dq = 14pivarepsilon0,R,[q^22]0^Q = Q^28pivarepsilon0,R

Passo 5

Como o resultado final é
W = Q^28pivarepsilon0,R,
vemos que W é de fato proporcional a Q^2, porque o potencial cresce linearmente com q e a integral de q,dq gera um termo em q^2.

Resposta

Sim. O trabalho total para carregar a esfera é
W = Q^28pivarepsilon0,R,
portanto é proporcional a Q^2.

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