Q23.3 É possivel fazer um arranjo de duas cargas puntiformes, separadas por uma distância finita, de modo que a energia potencial elétrica seja igual à energia potencial quando a distância entre as cargas for infinita? Por quê? Qual seria sua resposta para o caso de trés cargas? Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para duas cargas puntiformes q1 e q2 separadas por uma distância r, é possível ter a mesma energia potencial elétrica de quando elas estão em rtoinfty, e em seguida faz a mesma pergunta para três cargas. O conteúdo aqui é a energia potencial eletrostática de cargas pontuais, dada por
Uij=k,qi,qjrij,
com referência escolhida de modo que U(infty)=0.

Passo 2

Para duas cargas não-nulas, a energia total é
U(r)=k,q1,q2r,
enquanto a energia de referência no infinito é
U(infty)=0
Queremos saber se existe r<infty tal que
U(r)=U(infty)=0

Passo 3

Igualando tfrack,q1,q2r=0, como kneq0 e r finito não anula o denominador, só resta
q1,q2=0
Isso significa que ao menos uma das cargas teria de ser zero, o que descaracteriza o caso de “duas cargas puntiformes não-nulas”.

Passo 4

Portanto, para duas cargas pontuais não-nulas não existe distância finita que faça U(r)=0. A única forma de U chegar a zero é levar rtoinfty.

Passo 5

No caso de três cargas q1,q2,q3, a energia total é
U=k,q1q2r12+k,q1q3r13+k,q2q3r23
Agora há três termos que podem, em princípio, se cancelar se escolhermos adequadamente sinais, magnitudes e distâncias.

Passo 6

Um exemplo simples é usar q1=q2=Q e q3=-tfrac12Q nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Nesse caso
U=k,Q^2a+k,Q(-Q/2)a+k,Q(-Q/2)a =k,Q^2a-k,Q^22a-k,Q^22a=0,
com a finito. Assim, obtemos U=U(infty)=0 sem precisar levar nenhuma separação ao infinito.

Resposta

Não, para duas cargas pontuais não-nulas não há distância finita que torne U=0.
Sim, para três cargas podemos escolher sinais e magnitudes (por exemplo duas cargas +Q e uma carga -tfrac12Q em triângulo equilátero) de modo que a soma das interações seja zero a uma distância finita.

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