Uma esfera condutora, isolada, de raio
, colocada no vácuo, possui uma carga q. a) Calcule o valor da energia elétrica total acumulada no espaço que circunda a esfera. b) Qual o raio
de uma superfície esférica tal que um quarto da energia
do item (a) está acumulada no seu interior?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre eletrostática, que é a parte da física que estuda cargas elétricas em repouso. A pergunta fala sobre uma esfera condutora isolada, com raio $ R $ e carga $ q $, colocada no vácuo. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular a energia elétrica total acumulada no espaço ao redor da esfera.
b) Encontrar o raio $ R_0 $ de uma superfície esférica onde um quarto dessa energia está dentro dela.
Pra resolver isso, vamos precisar saber como calcular a energia armazenada no campo elétrico e entender como a energia se distribui no espaço ao redor de uma carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o campo elétrico ao redor da esfera condutora. Como a esfera é condutora e isolada, a carga $ q $ fica distribuída uniformemente na superfície. O campo elétrico fora da esfera (para $ r > R $) é igual ao de uma carga pontual no centro da esfera:
Onde:
- $ E® $ é o campo elétrico a uma distância $ r $ do centro,
- $ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $ é a constante eletrostática.
Dentro da esfera condutora (para $ r < R $), o campo elétrico é zero porque a carga está só na superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia elétrica total armazenada no campo ao redor da esfera. A energia no campo elétrico é dada pela integral:
Onde:
- $ U $ é a energia elétrica total,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ dV $ é o elemento de volume.
Como o campo elétrico é diferente dentro e fora da esfera, mas dentro é zero, a integral só vai de $ R $ até o infinito.
Passo 4
Vamos substituir $ E® $ na expressão da energia:
Simplificando a equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Então, substituindo de volta:
Sabemos que $ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $, então substituindo $ k $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para a segunda parte, queremos encontrar o raio $ R_0 $ onde a energia dentro dessa esfera é um quarto da energia total $ U $.
A energia dentro de uma esfera de raio $ R_0 $ é similar à que calculamos, mas a integral vai de $ R $ até $ R_0 $:
Queremos que $ U_{dentro} = \frac{U}{4} $:
Simplificando:
Logo:
Resposta
a) A energia elétrica total acumulada no espaço ao redor da esfera é $ U = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} $.
b) O raio $ R_0 $ da superfície esférica onde um quarto da energia total está acumulada é $ R_0 = 4R $.