Uma esfera condutora, isolada, de raio R, colocada no vácuo, possui uma carga q. a) Calcule o valor da energia elétrica total acumulada no espaço que circunda a esfera. b) Qual o raio R0 de uma superfície esférica tal que um quarto da energia U do item (a) está acumulada no seu interior?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre eletrostática, que é a parte da física que estuda cargas elétricas em repouso. A pergunta fala sobre uma esfera condutora isolada, com raio $ R $ e carga $ q $, colocada no vácuo. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular a energia elétrica total acumulada no espaço ao redor da esfera.
b) Encontrar o raio $ R_0 $ de uma superfície esférica onde um quarto dessa energia está dentro dela.
Pra resolver isso, vamos precisar saber como calcular a energia armazenada no campo elétrico e entender como a energia se distribui no espaço ao redor de uma carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o campo elétrico ao redor da esfera condutora. Como a esfera é condutora e isolada, a carga $ q $ fica distribuída uniformemente na superfície. O campo elétrico fora da esfera (para $ r > R $) é igual ao de uma carga pontual no centro da esfera:
q
Onde:
  • $ E® $ é o campo elétrico a uma distância $ r $ do centro,
  • $ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $ é a constante eletrostática.
Dentro da esfera condutora (para $ r < R $), o campo elétrico é zero porque a carga está só na superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia elétrica total armazenada no campo ao redor da esfera. A energia no campo elétrico é dada pela integral:
U = 12 varepsilon0 integral E^2 , dV
Onde:
  • $ U $ é a energia elétrica total,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ dV $ é o elemento de volume.
Como o campo elétrico é diferente dentro e fora da esfera, mas dentro é zero, a integral só vai de $ R $ até o infinito.

Passo 4

Vamos substituir $ E® $ na expressão da energia:
E(r)
Simplificando a equação:
U = 12 varepsilon0 integralR^infty ( k , qr^2 )^2 , 4pi r^2 , dr

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integralR^infty 1r^2 , dr = [ -1r ]R^infty = 0 - ( -1R ) = 1R
Então, substituindo de volta:
U = 2pi varepsilon0 k^2 q^2 cdot 1R
Sabemos que $ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} $, então substituindo $ k $:
k = 14pivarepsilon0
Simplificando:
k

Passo 6

Agora, para a segunda parte, queremos encontrar o raio $ R_0 $ onde a energia dentro dessa esfera é um quarto da energia total $ U $.
A energia dentro de uma esfera de raio $ R_0 $ é similar à que calculamos, mas a integral vai de $ R $ até $ R_0 $:
R0
Queremos que $ U_{dentro} = \frac{U}{4} $:
U
Simplificando:
R0
Logo:
R

Resposta

a) A energia elétrica total acumulada no espaço ao redor da esfera é $ U = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} $.
b) O raio $ R_0 $ da superfície esférica onde um quarto da energia total está acumulada é $ R_0 = 4R $.

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