Determine a expressão da corrente em função do tempo quando um capacitor é carregado (a) e descarregado (b).
(b) q=q0 e^-t R C

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a expressão da corrente em função do tempo quando um capacitor está sendo descarregado. O assunto aqui é circuitos elétricos, especificamente o comportamento de um capacitor em um circuito RC (resistor-capacitor). Para resolver, vamos precisar usar as leis de Kirchhoff e entender como a carga no capacitor diminui ao longo do tempo durante o descarregamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando um capacitor é descarregado através de um resistor. Quando o capacitor começa a descarregar, a carga armazenada nele começa a fluir através do resistor, gerando uma corrente elétrica. A taxa com que a carga diminui está relacionada à resistência ® e à capacitância © do circuito.

Passo 3

A relação básica que descreve essa situação é dada pela Lei de Kirchhoff das Tensões, que em um circuito RC em série durante o descarregamento pode ser escrita como:
VR + VC = 0
Onde é a tensão no resistor e é a tensão no capacitor.

Passo 4

Sabemos que a tensão no resistor ( VR = I cdot R ) é relacionada à corrente ( VC = qC ) e à resistência ( ) pela Lei de Ohm:
E a tensão no capacitor ( ) é relacionada à carga ( ) e à capacitância ( ):

Passo 5

Substituindo essas relações na equação de Kirchhoff, temos:
I cdot R + qC = 0
Isso simplifica para:
I = -qRC

Passo 6

Sabemos que a corrente ( I = dqdt ) também é a taxa de variação da carga em relação ao tempo:
dqdt = -qRC
Então, substituindo na equação anterior:

Passo 7

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar dqq = -dtRC . Separando as variáveis:
ln(q) = -tRC + ln(q0)
Integrando ambos os lados:
Onde é a carga inicial no capacitor.

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para resolver para q(t) = q0 e^-tRC :

Passo 9

Agora, para encontrar a corrente I(t) = dqdt = -q0RC e^-tRC , usamos a relação que estabelecemos anteriormente:

Resposta

A expressão da corrente em função do tempo durante o descarregamento do capacitor é:
I(t) = -q0R C e^-tR C

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