Determine a expressão da corrente em função do tempo quando um capacitor é carregado (a) e descarregado (b).
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a expressão da corrente em função do tempo quando um capacitor está sendo descarregado. O assunto aqui é circuitos elétricos, especificamente o comportamento de um capacitor em um circuito RC (resistor-capacitor). Para resolver, vamos precisar usar as leis de Kirchhoff e entender como a carga no capacitor diminui ao longo do tempo durante o descarregamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando um capacitor é descarregado através de um resistor. Quando o capacitor começa a descarregar, a carga armazenada nele começa a fluir através do resistor, gerando uma corrente elétrica. A taxa com que a carga diminui está relacionada à resistência ® e à capacitância © do circuito.
Passo 3
A relação básica que descreve essa situação é dada pela Lei de Kirchhoff das Tensões, que em um circuito RC em série durante o descarregamento pode ser escrita como:
Onde
é a tensão no resistor e
é a tensão no capacitor.
Passo 4
Sabemos que a tensão no resistor (
) é relacionada à corrente (
) e à resistência (
) pela Lei de Ohm:
E a tensão no capacitor (
) é relacionada à carga (
) e à capacitância (
):
Passo 5
Substituindo essas relações na equação de Kirchhoff, temos:
Isso simplifica para:
Passo 6
Sabemos que a corrente (
) também é a taxa de variação da carga em relação ao tempo:
Então, substituindo na equação anterior:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar
. Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a carga inicial no capacitor.
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Passo 9
Agora, para encontrar a corrente
, usamos a relação que estabelecemos anteriormente:
Resposta
A expressão da corrente em função do tempo durante o descarregamento do capacitor é: