A carga que atravessa a sessão reta de um condutor é dada por:
q=q0+a t^3
Em que, q0=1 C, a=2 C / s^2 e té dado em segundos. Determine: a) a expressão da corrente em função do tempo, b) Represente graficamente a evolução temporal desta corrente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre a carga elétrica que passa por um condutor em função do tempo, dada pela fórmula:
q = q0 + a t^3
Onde:
  • $ q_0 = 1 , \mathrm{C} $ (Carga inicial)
  • $ a = 2 , \mathrm{C/s}^{2} $ (Coeficiente)
  • $ t $ é o tempo em segundos
Vamos precisar saber que a corrente elétrica é a taxa de variação da carga em relação ao tempo. Ou seja, matematicamente, a corrente $ I $ é a derivada de $ q $ em relação a $ t $:
q0 = 1 , C
Então, vamos usar essa ideia para resolver as partes a) e b) da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da corrente em função do tempo. Como mencionei, a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo. Então vamos derivar a fórmula dada de $ q $:
q
Derivando termo a termo em relação a $ t $:
  • A derivada de $ q_0 $ (uma constante) é 0.
  • A derivada de $ a t^{3} $ é $ 3 a t^{2} $ (usando a regra da potência).
Então, a derivada fica:
q = q0 + a t^3

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem para $ a $ na expressão da corrente:
Sabemos que $ a = 2 , \mathrm{C/s}^{2} $, então:
a
Aqui, a unidade de corrente é o Ampère ($ \mathrm{A} $), já que 1 $ \mathrm{A} = 1 , \mathrm{C/s} $.

Passo 4

Agora que temos a expressão da corrente em função do tempo, podemos falar sobre como ela se comporta ao longo do tempo para a parte b).
A expressão $ I = 6 t^{2} $ mostra que a corrente aumenta com o quadrado do tempo. Isso significa que conforme o tempo passa, a corrente cresce de forma mais rápida. Se você fosse desenhar o gráfico, começaria no ponto (0,0) e a curva subiria de maneira acentuada à medida que $ t $ aumenta.

Resposta

a) A expressão da corrente em função do tempo é:
I(t) = 6 t^2 , A
b) O gráfico da corrente $ I $ em função do tempo $ t $ é uma parábola que começa no ponto (0,0) e cresce de forma acelerada à medida que $ t $ aumenta.

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