A carga que atravessa a sessão reta de um condutor é dada por:
Em que,
e té dado em segundos. Determine: a) a expressão da corrente em função do tempo, b) Represente graficamente a evolução temporal desta corrente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre a carga elétrica que passa por um condutor em função do tempo, dada pela fórmula:
Onde:
- $ q_0 = 1 , \mathrm{C} $ (Carga inicial)
- $ a = 2 , \mathrm{C/s}^{2} $ (Coeficiente)
- $ t $ é o tempo em segundos
Vamos precisar saber que a corrente elétrica é a taxa de variação da carga em relação ao tempo. Ou seja, matematicamente, a corrente $ I $ é a derivada de $ q $ em relação a $ t $:
Então, vamos usar essa ideia para resolver as partes a) e b) da questão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão da corrente em função do tempo. Como mencionei, a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo. Então vamos derivar a fórmula dada de $ q $:
Derivando termo a termo em relação a $ t $:
- A derivada de $ q_0 $ (uma constante) é 0.
- A derivada de $ a t^{3} $ é $ 3 a t^{2} $ (usando a regra da potência).
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que a gente tem para $ a $ na expressão da corrente:
Sabemos que $ a = 2 , \mathrm{C/s}^{2} $, então:
Aqui, a unidade de corrente é o Ampère ($ \mathrm{A} $), já que 1 $ \mathrm{A} = 1 , \mathrm{C/s} $.
Passo 4
Agora que temos a expressão da corrente em função do tempo, podemos falar sobre como ela se comporta ao longo do tempo para a parte b).
A expressão $ I = 6 t^{2} $ mostra que a corrente aumenta com o quadrado do tempo. Isso significa que conforme o tempo passa, a corrente cresce de forma mais rápida. Se você fosse desenhar o gráfico, começaria no ponto (0,0) e a curva subiria de maneira acentuada à medida que $ t $ aumenta.
Resposta
a) A expressão da corrente em função do tempo é:
b) O gráfico da corrente $ I $ em função do tempo $ t $ é uma parábola que começa no ponto (0,0) e cresce de forma acelerada à medida que $ t $ aumenta.