Uma esfera condutora, isolada, de raio a, está uniformemente carregada em sua superfície, com densidade superficial \sigma_{0}. Dado que E=0 para r<a e E=\sigma_{0} a^{2} / \varepsilon_{0} r^{2} para r>a, calcule: A) O potencial elétrico para pontos de dentro da esfera. B) A energia elétrica armazenada no campo elétrico produzido pela esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora isolada de raio a com carga distribuída uniformemente na superfície, de densidade superficial \sigma_{0}. Foi informado o campo elétrico:
E(r)=0\quad\text{para }r<a,
E(r)=\frac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\quad\text{para }r>a.
Pede-se:
A) o potencial elétrico para pontos de dentro da esfera (ou seja, para r<a);
B) a energia elétrica armazenada no campo elétrico produzido pela esfera.
Observação usada implicitamente: adotamos como referência o potencial zero no infinito, isto é V(\infty)=0.

Passo 2

Entendendo a relação entre campo e potencial. O potencial elétrico V e o campo elétrico \mathbf{E} estão ligados por
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1)=-\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Aqui, por simetria esférica, E é radial e depende só de r, então para pontos sobre o mesmo raio a expressão fica
V(r) - V(\infty) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'.
Como escolhemos V(\infty)=0, temos
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr'.

Passo 3

Calculando o potencial para r>a (passo intermediário útil). Substituímos E(r')=\dfrac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0} r'^{2}} na integral:
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0} r'^{2}}\,dr'.
Fazendo a integral:
-\int_{\infty}^{r} \frac{1}{r'^{2}}\,dr' = -\Big[ -\frac{1}{r'}\Big]_{\infty}^{r} = \frac{1}{r}.
Portanto
V(r)=\frac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r}=\frac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0} r}\qquad\text{para }r>a.

Passo 4

Potencial dentro da esfera ( r<a). Como o interior da esfera condutora tem E=0 (dado do enunciado), o potencial dentro é constante (não varia com r). Assim o potencial de qualquer ponto com r<a é igual ao potencial na superfície r=a. Usando o resultado para r>a e avaliando em r=a:
V(a)=\frac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0} a}=\frac{\sigma_{0} a}{\varepsilon_{0}}.
Logo, para todo r<a,
V(r)=\frac{\sigma_{0} a}{\varepsilon_{0}}.
(Fácil de memorizar na prova: condutor em equilíbrio é equipotencial, então basta calcular o potencial na superfície.)

Passo 5

Relação com a carga total (curiosidade útil na prova). A carga total na esfera é
Q = \sigma_{0}\times\text{área}= \sigma_{0}\cdot 4\pi a^{2}=4\pi a^{2}\sigma_{0}.á
Com isso o potencial de superfície pode ser escrito como
V(a)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{a}.

Passo 6

Fórmula da densidade de energia e estratégia para calcular a energia total. A densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume) é
u=\frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}.
A energia total armazenada no campo é
U=\int_{\text{todo espaço}} u\,dV = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\int E^{2}\,dV.ç
No nosso caso E=0 para r<a, então só precisamos integrar para r\ge a. Em coordenadas esféricas o volume elemento é dV=4\pi r^{2}dr (a integração angular dá 4\pi por simetria).

Passo 7

Calcular explicitamente a integral da energia. Substituímos E(r)=\dfrac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0} r^{2}} em u:
u(r)=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left(\frac{\sigma_{0} a^{2}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\right)^{2} =\frac{\varepsilon_{0}}{2}\cdot\frac{\sigma_{0}^{2} a^{4}}{\varepsilon_{0}^{2} r^{4}} =\frac{\sigma_{0}^{2} a^{4}}{2\varepsilon_{0} r^{4}}.
Então
U=\int_{a}^{\infty} \frac{\sigma_{0}^{2} a^{4}}{2\varepsilon_{0} r^{4}}\;4\pi r^{2}\,dr =\frac{2\pi \sigma_{0}^{2} a^{4}}{\varepsilon_{0}}\int_{a}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
Calcule a integral impropria:
\int_{a}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr = \Big[-\frac{1}{r}\Big]_{a}^{\infty} = \frac{1}{a}.
Substituindo:
U=\frac{2\pi \sigma_{0}^{2} a^{4}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{2\pi \sigma_{0}^{2} a^{3}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 8

Forma alternativa e verificação por consistência. Usando Q=4\pi a^{2}\sigma_{0} e V(a)=\dfrac{\sigma_{0} a}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{a}, obtemos a forma clássica
U=\frac{1}{2}Q V(a)=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a},
que, substituindo Q, volta a dar U=\dfrac{2\pi \sigma_{0}^{2} a^{3}}{\varepsilon_{0}}, confirmando a consistência.

Resposta

V(r)=\dfrac{\sigma_{0} a}{\varepsilon_{0}}\quad\text{para }r<a.
U=\dfrac{2\pi \sigma_{0}^{2} a^{3}}{\varepsilon_{0}} \;=\; \dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a}\;=\;\dfrac{1}{2}Q\,V(a).

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