Uma esfera condutora, isolada, de raio
, está uniformemente carregada em sua superfície, com densidade superficial
. Dado que
para
e
para
, calcule: A) O potencial elétrico para pontos de dentro da esfera. B) A energia elétrica armazenada no campo elétrico produzido pela esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera condutora isolada de raio
com carga distribuída uniformemente na superfície, de densidade superficial
. Foi informado o campo elétrico:
Pede-se:
A) o potencial elétrico para pontos de dentro da esfera (ou seja, para );
B) a energia elétrica armazenada no campo elétrico produzido pela esfera.
A) o potencial elétrico para pontos de dentro da esfera (ou seja, para
B) a energia elétrica armazenada no campo elétrico produzido pela esfera.
Observação usada implicitamente: adotamos como referência o potencial zero no infinito, isto é
.
Passo 2
Entendendo a relação entre campo e potencial. O potencial elétrico
e o campo elétrico
estão ligados por
Aqui, por simetria esférica,
é radial e depende só de
, então para pontos sobre o mesmo raio a expressão fica
Como escolhemos
, temos
Passo 3
Calculando o potencial para
(passo intermediário útil). Substituímos
na integral:
Fazendo a integral:
Portanto
Passo 4
Potencial dentro da esfera (
). Como o interior da esfera condutora tem
(dado do enunciado), o potencial dentro é constante (não varia com
). Assim o potencial de qualquer ponto com
é igual ao potencial na superfície
. Usando o resultado para
e avaliando em
:
Logo, para todo
,
(Fácil de memorizar na prova: condutor em equilíbrio é equipotencial, então basta calcular o potencial na superfície.)
Passo 5
Relação com a carga total (curiosidade útil na prova). A carga total na esfera é
Com isso o potencial de superfície pode ser escrito como
Passo 6
Fórmula da densidade de energia e estratégia para calcular a energia total. A densidade de energia eletrostática (energia por unidade de volume) é
A energia total armazenada no campo é
No nosso caso
para
, então só precisamos integrar para
. Em coordenadas esféricas o volume elemento é
(a integração angular dá
por simetria).
Passo 7
Calcular explicitamente a integral da energia. Substituímos
em
:
Então
Calcule a integral impropria:
Substituindo:
Passo 8
Forma alternativa e verificação por consistência. Usando
e
, obtemos a forma clássica
que, substituindo
, volta a dar
, confirmando a consistência.