Um separador de creme processa leite integral com 4% de gordura. Após a centrifugação, obtém-se creme com 40 \% de gordura e leite desnatado com 0,1 \%.
  • a) Se entram 1000 kg de leite, calcule a quantidade de creme e de leite desnatado produzidos.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir de 1000\\ \mathrm{kg} de leite integral com 4\% de gordura processados num separador, calculemos quanto de creme (com 40\% de gordura) e quanto de leite desnatado (com 0,1\% de gordura) são produzidos.
Informações dadas:
\bullet Leite de entrada: 1000\\ \mathrm{kg} com 4\% de gordura.
\bullet Creme obtido: 40\% de gordura.
\bullet Leite desnatado obtido: 0,1\% de gordura.
Pergunta: calcular as massas de creme e de leite desnatado produzidos (em kg).

Passo 2

Definimos incógnitas fáceis de manipular. Seja x a massa do creme produzida, em kg, e y a massa do leite desnatado produzido, em kg. Estas incógnitas têm unidades de massa (kg). Além disso, pela conservação da massa total temos a relação imediata
x + y = 1000

Passo 3

Agora usamos a conservação da massa de gordura (a gordura que entra deve ser a mesma que sai, assumindo que não há perdas). Primeiro convertemos porcentagens em números decimais para usar nas contas: 4\% = 0,04, 40\% = 0,40 e 0,1\% = 0,001. A massa total de gordura que entra é
0,04\cdot 1000
e a gordura que sai está distribuída entre o creme e o leite desnatado, ou seja
0,40\,x + 0,001\,y.
Igualando entrada e saída de gordura obtemos a equação
0,04\cdot 1000 = 0,40\,x + 0,001\,y

Passo 4

Calculamos o lado esquerdo e substituímos y por 1000-x (usando x+y=1000). Primeiro,
0,04\cdot 1000 = 40.
Substituindo y=1000-x na equação da gordura:
0,40\,x + 0,001(1000 - x) = 40
Agora desenvolvemos passo a passo:
0,40\,x + 1 - 0,001\,x = 40
(0,40 - 0,001)\,x + 1 = 40
0,399\,x = 39

Passo 5

Isolamos x:
x = \frac{39}{0,399}
Para manipular sem perda de precisão transformamos em fração inteira:
x = \frac{39000}{399} = \frac{13000}{133}.
Em valor decimal aproximado (arredondando para três casas decimais) temos
x \approx 97,744\\ \mathrm{kg}.
Ou seja, produzimos cerca de 97,744\\ \mathrm{kg} de creme.

Passo 6

Calculamos y usando y=1000-x:
y = 1000 - \frac{13000}{133} = \frac{120000}{133} \approx 902,256\\ \mathrm{kg}.
Portanto, obtém-se cerca de 902,256\\ \mathrm{kg} de leite desnatado.

Passo 7

Fazemos uma checagem rápida para ver se a conservação da gordura fecha: gordura no creme =0,40\cdot 97,744\approx 39,0976\\ \mathrm{kg}; gordura no desnatado =0,001\cdot 902,256\approx 0,9023\\ \mathrm{kg}. Soma \approx 40,000\\ \mathrm{kg}, que bate com a gordura inicial 0,04\cdot1000=40\\ \mathrm{kg}. Tudo consistente — bom trabalho!

Resposta

Creme: \,97,744\\ \mathrm{kg}
Leite desnatado: \,902,256\\ \mathrm{kg}

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