Uma esfera condutora possui uma carga Q e está a um potencial elétrico V em relação ao infinito. Se a carga for aumentada para 2 Q, o novo potencial será
Escolha uma opção:
◯ a. \quad V / 4
◯ b. 4 V
◯ c. \quad V / 2
◯ d. 2 V
◯ e. V

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Uma esfera condutora tem carga inicial \,Q\, e está a um potencial \,V\, em relação ao infinito.
  • A carga é então aumentada para \,2Q\,.
  • Pergunta: qual será o novo potencial da esfera em relação ao infinito, depois da carga ser aumentada?
Informações úteis a observar (fornecidas pelo enunciado):
  • A esfera é condutora (logo sua superfície está equipotencial).
  • A geometria da esfera (raio) e o referencial (infinito) não foram alterados quando a carga foi duplicada.

Passo 2

Entender como se relacionam potencial e carga para uma esfera condutora.
Explicação passo a passo do conceito que vamos usar (sem pular etapas):
  • Para uma esfera condutora isolada de raio \,R\,, toda a carga extra fica na superfície. Do ponto de vista externo, o campo elétrico é o mesmo que o de uma carga puntiforme \,Q\, concentrada no centro da esfera.
  • O campo elétrico para \,r\ge R\, (fora da esfera) é dado por Coulomb:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}}.
Aqui \,r\, é a distância ao centro da esfera, e \,\varepsilon_0\, é a permissividade do vácuo. A constante \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, é frequentemente usada para simplificar a escrita.

Passo 3

Definir potencial em relação ao infinito e escrever a expressão para o potencial da esfera.
Explicando o conceito de potencial usado:
  • O potencial elétrico de um ponto a uma distância \,r\, do centro é definido, relativamente ao infinito, por
V(r)=-\int_{\infty}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
  • Para a superfície da esfera (ponto a r=R) usamos o campo externo \,E(r)=kQ/r^2 e integramos radialmente. O potencial da superfície (que é o potencial da esfera inteira, por ser condutora) é
V = -\int_{\infty}^{R} E(r)\,dr = -\int_{\infty}^{R} \frac{kQ}{r^{2}}\,dr.

Passo 4

Calcular a integral e obter a relação entre V e Q.
Executando a integral explicando cada passo:
V = -kQ\int_{\infty}^{R} \frac{1}{r^{2}}\,dr.
A integral de 1/r^{2} é -1/r. Então
V = -kQ\left[ -\frac{1}{r} \right]_{\infty}^{R} = -kQ\left( -\frac{1}{R} - 0 \right) = k\,\frac{Q}{R}.
Portanto a expressão explícita é
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,V\,: potencial da esfera relativo ao infinito;
  • \,Q\,: carga total da esfera;
  • \,R\,: raio da esfera (fixo);
  • \,\varepsilon_0\,: permissividade do vácuo;
  • \,k=1/(4\pi\varepsilon_0)\,: constante de Coulomb.

Passo 5

Usar a relação encontrada para ver o que acontece quando a carga dobra.
Observação crucial (e muito prática para prova):
  • Na fórmula \,V = k\,Q/R\,, o raio \,R\, e a constante k não mudam quando só alteramos a carga. Logo V é diretamente proporcional a Q.
  • Se a carga for multiplicada por um fator a, o potencial também é multiplicado pelo mesmo fator a.
Aplicando ao caso concreto (carga vai de \,Q\, para \,2Q\,):
  • O novo potencial \,V'\, vale
V' = k\,\frac{2Q}{R} = 2\left(k\,\frac{Q}{R}\right).

Passo 6

Interpretação final e verificação das alternativas.
  • A equação do passo anterior mostra que o novo potencial é o dobro do potencial inicial \,V\,.
  • Entre as opções dadas, a que corresponde a dobrar o potencial é a opção (d).

Resposta

2V

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