Uma esfera condutora possui uma carga
e está a um potencial elétrico
em relação ao infinito. Se a carga for aumentada para
, o novo potencial será
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b. 4 V
◯ c.
◯ d. 2 V
◯ e.
◯ a.
◯ b. 4 V
◯ c.
◯ d. 2 V
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Uma esfera condutora tem carga inicial
e está a um potencial em relação ao infinito. - A carga é então aumentada para
. - Pergunta: qual será o novo potencial da esfera em relação ao infinito, depois da carga ser aumentada?
Informações úteis a observar (fornecidas pelo enunciado):
- A esfera é condutora (logo sua superfície está equipotencial).
- A geometria da esfera (raio) e o referencial (infinito) não foram alterados quando a carga foi duplicada.
Passo 2
Entender como se relacionam potencial e carga para uma esfera condutora.
Explicação passo a passo do conceito que vamos usar (sem pular etapas):
- Para uma esfera condutora isolada de raio
, toda a carga extra fica na superfície. Do ponto de vista externo, o campo elétrico é o mesmo que o de uma carga puntiforme concentrada no centro da esfera. - O campo elétrico para
(fora da esfera) é dado por Coulomb:
Aqui
é a distância ao centro da esfera, e
é a permissividade do vácuo. A constante
é frequentemente usada para simplificar a escrita.
Passo 3
Definir potencial em relação ao infinito e escrever a expressão para o potencial da esfera.
Explicando o conceito de potencial usado:
- O potencial elétrico de um ponto a uma distância
do centro é definido, relativamente ao infinito, por
- Para a superfície da esfera (ponto a
) usamos o campo externo e integramos radialmente. O potencial da superfície (que é o potencial da esfera inteira, por ser condutora) é
Passo 4
Calcular a integral e obter a relação entre
e
.
Executando a integral explicando cada passo:
A integral de
é
. Então
Portanto a expressão explícita é
Aqui cada símbolo significa:
-
: potencial da esfera relativo ao infinito; -
: carga total da esfera; -
: raio da esfera (fixo); -
: permissividade do vácuo; -
: constante de Coulomb.
Passo 5
Usar a relação encontrada para ver o que acontece quando a carga dobra.
Observação crucial (e muito prática para prova):
- Na fórmula
, o raio e a constante não mudam quando só alteramos a carga. Logo é diretamente proporcional a . - Se a carga for multiplicada por um fator
, o potencial também é multiplicado pelo mesmo fator .
Aplicando ao caso concreto (carga vai de
para
):
- O novo potencial
vale
Passo 6
Interpretação final e verificação das alternativas.
- A equação do passo anterior mostra que o novo potencial é o dobro do potencial inicial
. - Entre as opções dadas, a que corresponde a dobrar o potencial é a opção (d).