Uma esfera oca, de metal, é carregada até atingir um potencial elétrico
. O potencial no centro da esfera é
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b.
◯ c. -V
◯ d. 2 V
◯ e.
◯ a. 0
◯ b.
◯ c. -V
◯ d. 2 V
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma esfera oca, de metal, foi carregada até atingir um potencial elétrico
. - Pergunta: qual é o potencial no centro da esfera?
Informações explícitas fornecidas:
- A esfera é metálica (condutora).
- A esfera foi levada a um potencial
(presumivelmente o potencial do condutor relativo ao infinito). - Opções de resposta: (a)
, (b) , (c) , (d) , (e) .
Passo 2
Conceito essencial: dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é nulo. Vou explicar isso com calma e didático.
- O que é o campo elétrico
? É a grandeza que diz a força por unidade de carga que uma carga de prova sentiria em cada ponto do espaço. - Por que em um condutor em equilíbrio eletrostático
no interior do material condutor? Se houvesse dentro do metal, cargas livres se moveriam sob a ação desse campo até redistribuírem-se de modo a anular o campo. O estado final (equilíbrio) tem, portanto, no volume do condutor.
Uma forma mais formal (muito usada em provas) usa a Lei de Gauss:
onde
é uma superfície fechada,
é o elemento de área orientado,
é a carga total dentro de
e
é a permissividade do vácuo.
- Se escolhemos
totalmente dentro do material metálico (não englobando a superfície externa onde está a carga), então (as cargas livres residem na superfície externa do condutor). Logo o fluxo é zero e, pelo raciocínio habitual, isso implica em cada ponto do interior do condutor.
Resumo didático curto: dentro do metal não há campo elétrico.
Passo 3
Relação entre campo elétrico e potencial elétrico: o potencial é uma função cujo gradiente dá o campo. Em termos de integral de linha:
onde
é o potencial no ponto
e
é o elemento de deslocamento ao longo do caminho de
até
.
Agora aplicamos isso do ponto na superfície da esfera até o centro. Denotando
o potencial no centro e
o potencial na superfície, temos
Mas, do Passo 2,
em todo o trajeto interior (entre superfície e centro), então o integrando é zero e a integral vale zero. Portanto
Passo 4
Interpretação final: o enunciado diz que a esfera metálica foi carregada até atingir um potencial elétrico
. Isso significa que o potencial da superfície do condutor é
. Pelo resultado do passo anterior, o potencial em qualquer ponto do interior do condutor (incluindo o centro) é igual ao potencial da superfície. Logo o potencial no centro é
.
Intuição extra (para fixar): como não existe campo no interior, deslocar uma carga de prova do centro até a superfície não exige trabalho; portanto o potencial é o mesmo nesses pontos.
Passo 5
Verificação das alternativas: a alternativa que corresponde a essa conclusão é a alternativa (e), que afirma que o potencial no centro é
.
Resposta
e.