Uma esfera oca, de metal, é carregada até atingir um potencial elétrico V. O potencial no centro da esfera é
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b. \pi V
◯ c. -V
◯ d. 2 V
◯ e. V

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma esfera oca, de metal, foi carregada até atingir um potencial elétrico V.
  • Pergunta: qual é o potencial no centro da esfera?
Informações explícitas fornecidas:
  • A esfera é metálica (condutora).
  • A esfera foi levada a um potencial \;V\; (presumivelmente o potencial do condutor relativo ao infinito).
  • Opções de resposta: (a) 0, (b) \pi V, (c) -V, (d) 2V, (e) V.

Passo 2

Conceito essencial: dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é nulo. Vou explicar isso com calma e didático.
  • O que é o campo elétrico \mathbf{E}? É a grandeza que diz a força por unidade de carga que uma carga de prova sentiria em cada ponto do espaço.
  • Por que em um condutor em equilíbrio eletrostático \mathbf{E}=0 no interior do material condutor? Se houvesse \mathbf{E}\neq0 dentro do metal, cargas livres se moveriam sob a ação desse campo até redistribuírem-se de modo a anular o campo. O estado final (equilíbrio) tem, portanto, \mathbf{E}=0 no volume do condutor.
Uma forma mais formal (muito usada em provas) usa a Lei de Gauss:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde \mathcal{S} é uma superfície fechada, d\mathbf{A} é o elemento de área orientado, Q_{\text{enc}} é a carga total dentro de \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Se escolhemos \mathcal{S} totalmente dentro do material metálico (não englobando a superfície externa onde está a carga), então Q_{\text{enc}}=0 (as cargas livres residem na superfície externa do condutor). Logo o fluxo é zero e, pelo raciocínio habitual, isso implica \mathbf{E}=0 em cada ponto do interior do condutor.
Resumo didático curto: dentro do metal não há campo elétrico.

Passo 3

Relação entre campo elétrico e potencial elétrico: o potencial é uma função cujo gradiente dá o campo. Em termos de integral de linha:
V(B)-V(A) = -\int_{A}^{B} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell},
onde V(X) é o potencial no ponto X e d\boldsymbol{\ell} é o elemento de deslocamento ao longo do caminho de A até B.
Agora aplicamos isso do ponto na superfície da esfera até o centro. Denotando V_{\text{centro}} o potencial no centro e V_{\text{superfície}}í o potencial na superfície, temos
V_{\text{centro}} - V_{\text{superfície}} = -\int_{\text{superfície}}^{\text{centro}} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.íí
Mas, do Passo 2, \mathbf{E}=0 em todo o trajeto interior (entre superfície e centro), então o integrando é zero e a integral vale zero. Portanto
V_{\text{centro}} - V_{\text{superfície}} = 0 \quad\Rightarrow\quad V_{\text{centro}} = V_{\text{superfície}}.íí

Passo 4

Interpretação final: o enunciado diz que a esfera metálica foi carregada até atingir um potencial elétrico V. Isso significa que o potencial da superfície do condutor é V. Pelo resultado do passo anterior, o potencial em qualquer ponto do interior do condutor (incluindo o centro) é igual ao potencial da superfície. Logo o potencial no centro é V.
Intuição extra (para fixar): como não existe campo no interior, deslocar uma carga de prova do centro até a superfície não exige trabalho; portanto o potencial é o mesmo nesses pontos.

Passo 5

Verificação das alternativas: a alternativa que corresponde a essa conclusão é a alternativa (e), que afirma que o potencial no centro é V.

Resposta

e. V

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