Uma esfera condutora de raio r=10 cm colocada no vácuo possui um potencial de 100 V . Imagine que a mesma é recoberta por duas camadas dielétricas. A espessura da primeira camada vale 2 cm e sua constante dielétrica vale 2. Para a camada mais externa, tais valores valem respectivamente 4 e 8.
Haverá modificação do potencial da esfera?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma esfera condutora de raio ,cm que, no vácuo, está a ,V. Depois ela é envolvida por duas camadas dielétricas: a primeira tem espessura ,cm e constante dielétrica ; a segunda tem espessura ,cm e . A pergunta é se o potencial da esfera muda.”
Conteúdo: eletrostática—potencial de condutor isolado, capacitância esférica e efeito de dielétrico. Vamos precisar:
  1. calcular a carga associada aos ,V iniciais;
  2. entender que essa carga não muda quando adicionamos dielétricos;
  3. achar o novo potencial somando as “quedas” de potencial em cada região (usando );
  4. ver que o dielétrico aumenta a capacitância e, portanto, diminui .

Passo 2

Primeiro, achamos a carga C0 = 4pi varepsilon0,r que dá Q = C0 times Vrm inicial = 4pivarepsilon0,(0,10)times 100 ,V no vácuo.
A capacitância de uma esfera isolada no vácuo é
Então

Passo 3

Depois de colocar os dielétricos, V' ;=; underbraceintegralr^r+2,cm E1,drdielétrico K1 +underbraceintegralr+2,cm^r+2+4,cm E2,drdielétrico K2 +underbraceintegralr+2+4,cm^infty E0,drvácuo continua o mesmo, mas o potencial agora é
ééá
Em cada região , trocando no vácuo e usando os limites certos.

Passo 4

Colocando os números (tudo em metros: V' ;=;Q4pivarepsilon0g[ (1K1,r-1K1,r1) +(1K2,r1-1K2,r2) +(1r2) g] , 12,r=5, 12,r1approx4,1667, 18,r1approx1,0417, 18,r2=0,78125, 1r2=6,25 , (5-4,1667)+(1,0417-0,78125)+6,25 =0,8333+0,2604+6,25 =7,3437 ):
V' = Q4pivarepsilon0times7,3437 enquanto Vrm inicial=Q4pivarepsilon0times1r =Q4pivarepsilon0times10
Substituindo V' = 100 Vtimes0,73437 approx 73,4 V , ,
Então o colchete fica
Logo
A razão é , então

Resposta

Sim, o potencial cai de ,V para aproximadamente ,V.

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