Considere uma linha coaxial, constituída por duas superfícies condutoras cilíndricas e separadas por um material isolante de rigidez dielétrica de ER D=20 MV / m.
Caso o dielétrico da linha fosse substituído por outro com constante dielétrica igual a 20, determine a capacitância por unidade de comprimento do conjunto.

Passo 1

Beleza, então o problema diz que a gente tem uma linha coaxial (dois cilindros concêntricos condutores) separados por um dielétrico. Antes o dielétrico tinha rigidez dielétrica de , mas agora vão trocar por um outro cujo fator de permittividade (constante dielétrica) é .
Conteúdo envolvido: eletrostática (Lei de Gauss) e definição de capacitância de um capacitor coaxial.
O que a gente vai usar:
  • Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros;
  • integração de pra achar a diferença de potencial ;
  • e então (capacitância por unidade de comprimento).

Passo 2

Vamos desenrolar tudo do zero.
  1. Considere carga por unidade de comprimento Phi = oint Ecdot dA = E(r),(2pi r cdot 1), no condutor interno (raio E(r),2pi r = Q'varepsilon0varepsilonr Longrightarrow E(r) = Q'2pivarepsilon0varepsilonr,r ), o externo tem carga .
  2. Pelo teorema de Gauss, numa superfície cilíndrica de raio (com ), o fluxo é
e a carga interna é . Então

Passo 3

Agora a gente calcula a tensão V = integrala^b E(r),dr = integrala^b Q'2pivarepsilon0varepsilonr,r,dr = Q'2pivarepsilon0varepsilonr,ln!l(bar) entre os polos (de até ):

Passo 4

Por definição, capacitância por unidade de comprimento é
C' = Q'V = Q'dfracQ'2pivarepsilon0varepsilonr,ln(b/a) = 2pivarepsilon0varepsilonrln!l(tfracbar)
Como a gente trocou o dielétrico e agora , basta colocar esse valor.

Resposta

boxed,C' = 2pi,varepsilon0,(20)ln!l(tfracbar)[F/m],

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